解説

方針・初手

$f(1)=f(-1)=0$ から係数に関する条件式を立てると，$b,c$ を $a$ で表せる。すると

$$ f(x)=(x^3-x)+a(x^2-1) $$

という形になり，$x^3-x$ は奇関数，$x^2-1$ は偶関数であることから，二乗して積分したときの交差項が消える。これにより $I$ は $a^2$ を含む形となり，最小値がすぐに分かる。

解法1

条件 $f(1)=0,\ f(-1)=0$ より，

$$ \begin{cases} 1+a+b+c=0,\\ -1+a-b+c=0 \end{cases} $$

である。

2式を加えると，

$$ a+c=0 $$

よって

$$ c=-a $$

である。

また，2式の差をとると，

$$ 1+b=0 $$

となるから，

$$ b=-1 $$

である。

したがって，

$$ f(x)=x^3+ax^2-x-a=(x^3-x)+a(x^2-1) $$

と書ける。

ここで，$x^3-x$ は奇関数，$x^2-1$ は偶関数であるから，

$$ (x^3-x)(x^2-1) $$

は奇関数である。したがって対称区間 $[-1,1]$ では，

$$ \int_{-1}^{1}(x^3-x)(x^2-1),dx=0 $$

となる。

よって，

$$ \begin{aligned} I &=\int_{-1}^{1}{(x^3-x)+a(x^2-1)}^2,dx\\ &=\int_{-1}^{1}(x^3-x)^2,dx +2a\int_{-1}^{1}(x^3-x)(x^2-1),dx +a^2\int_{-1}^{1}(x^2-1)^2,dx\\ &=\int_{-1}^{1}(x^3-x)^2,dx +a^2\int_{-1}^{1}(x^2-1)^2,dx \end{aligned} $$

ここで

$$ \int_{-1}^{1}(x^2-1)^2,dx>0 $$

であるから，$I$ が最小となるのは

$$ a=0 $$

のときである。

したがって，

$$ c=-a=0,\qquad b=-1 $$

となる。よって

$$ f(x)=x^3-x $$

である。

このとき，

$$ \begin{aligned} I &=\int_{-1}^{1}(x^3-x)^2,dx\\ &=\int_{-1}^{1}(x^6-2x^4+x^2),dx\\ &=2\int_{0}^{1}(x^6-2x^4+x^2),dx\\ &=2\left(\frac17-\frac25+\frac13\right)\\ &=2\cdot\frac{8}{105}\\ &=\frac{16}{105} \end{aligned} $$

解説

この問題では，まず条件 $f(1)=f(-1)=0$ を使って係数の自由度を減らすことが重要である。そのあと

$$ f(x)=(x^3-x)+a(x^2-1) $$

と分けて見ると，奇関数と偶関数の積が奇関数になるため，対称区間での積分では交差項が消える。

したがって $I$ は「定数項 $+$ 正の定数倍の $a^2$」という形になり，最小値は $a=0$ で与えられる。対称区間の積分では奇偶性に注目するのが典型的な処理である。

答え

$$ a=0,\qquad b=-1,\qquad c=0 $$

そのとき，

$$ f(x)=x^3-x,\qquad I=\frac{16}{105} $$