解説

方針・初手

$f(2)$ と $f'(2)$ がともに $x=2$ で与えられているので、$x=2$ を基準にして

$$ f(x)=a(x-2)^2+b(x-2)+c $$

とおくのが自然である。すると $f(2),,f'(2)$ から $b,c$ がすぐ決まり、あとは積分条件で $a$ を定めればよい。

解法1

$f(x)$ は2次関数であるから、

$$ f(x)=a(x-2)^2+b(x-2)+c $$

とおく。

このとき

$$ f(2)=c=26 $$

である。

また、

$$ f'(x)=2a(x-2)+b $$

より、

$$ f'(2)=b=18 $$

である。

したがって、

$$ f(x)=a(x-2)^2+18(x-2)+26 $$

と書ける。

ここで積分条件

$$ \int_{-1}^{1} f(x),dx=6 $$

を用いる。

$$ \int_{-1}^{1} \left\{ a(x-2)^2+18(x-2)+26 \right\}dx=6 $$

であり、

$$ \int_{-1}^{1}(x-2)^2dx =\int_{-1}^{1}(x^2-4x+4)dx =\frac{2}{3}+0+8 =\frac{26}{3} $$

また、

$$ \int_{-1}^{1}18(x-2),dx =18\left( \int_{-1}^{1}x,dx-\int_{-1}^{1}2,dx \right) =18(0-4) =-72 $$

さらに、

$$ \int_{-1}^{1}26,dx=52 $$

であるから、

$$ a\cdot \frac{26}{3}-72+52=6 $$

すなわち、

$$ \frac{26}{3}a-20=6 $$

より、

$$ \frac{26}{3}a=26 $$

したがって、

$$ a=3 $$

となる。

よって

$$ f(x)=3(x-2)^2+18(x-2)+26 $$

これを展開すると、

$$ f(x)=3x^2+6x+2 $$

である。

解法2

$f(x)=ax^2+bx+c$ とおく。

すると

$$ f'(x)=2ax+b $$

であるから、

$$ f(2)=26 \Rightarrow 4a+2b+c=26 $$

$$ f'(2)=18 \Rightarrow 4a+b=18 $$

また、

$$ \int_{-1}^{1}f(x),dx =\int_{-1}^{1}(ax^2+bx+c),dx =\frac{2a}{3}+2c $$

であるので、

$$ \frac{2a}{3}+2c=6 $$

すなわち

$$ a+3c=9 $$

を得る。

ここで

$$ 4a+b=18 \Rightarrow b=18-4a $$

これを $4a+2b+c=26$ に代入すると、

$$ 4a+2(18-4a)+c=26 $$

より

$$ c=4a-10 $$

さらに $a+3c=9$ に代入して、

$$ a+3(4a-10)=9 $$

$$ 13a=39 $$

$$ a=3 $$

したがって、

$$ b=18-4\cdot 3=6,\qquad c=4\cdot 3-10=2 $$

ゆえに

$$ f(x)=3x^2+6x+2 $$

である。

解説

この問題の本質は、2次関数が3つの定数で決まることにある。したがって、与えられた3条件からその3つの定数を決めればよい。

特に $f(2)$ と $f'(2)$ が同じ点 $x=2$ で与えられているので、$a(x-2)^2+b(x-2)+c$ とおく解法は効率がよい。この形にすると、$f(2)$ から定数項、$f'(2)$ から1次の係数がすぐ決まり、未知数が1つに減る。

答え

$$ f(x)=3x^2+6x+2 $$