解説

方針・初手

被積分関数を因数分解して、絶対値の中身の符号がどこで変わるかを調べる。 絶対値を外すには、まず

$$ x^2-(a+1)x+a=(x-1)(x-a) $$

と変形するのが初手である。

$0\le a\le 1$ より、2つの解 $x=a,\ 1$ はともに積分区間 $[0,2]$ に含まれる。したがって、区間を $[0,a],\ [a,1],\ [1,2]$ に分ければ絶対値を外せる。

解法1

$$ x^2-(a+1)x+a=(x-1)(x-a) $$

である。

ここで $0\le a\le 1$ だから、$[0,2]$ における符号は次のようになる。

• $0\le x\le a$ では、$x-a\le 0,\ x-1\le 0$ より $(x-1)(x-a)\ge 0$
• $a\le x\le 1$ では、$x-a\ge 0,\ x-1\le 0$ より $(x-1)(x-a)\le 0$
• $1\le x\le 2$ では、$x-a\ge 0,\ x-1\ge 0$ より $(x-1)(x-a)\ge 0$

したがって、

$$ I=\int_0^a \left(x^2-(a+1)x+a\right),dx -\int_a^1 \left(x^2-(a+1)x+a\right),dx +\int_1^2 \left(x^2-(a+1)x+a\right),dx $$

となる。

原始関数を

$$ F(x)=\frac{x^3}{3}-\frac{a+1}{2}x^2+ax $$

とおくと、

$$ I={F(a)-F(0)}-{F(1)-F(a)}+{F(2)-F(1)} $$

すなわち

$$ I=2F(a)-2F(1)+F(2) $$

である。

まず、

$$ F(a)=\frac{a^3}{3}-\frac{a+1}{2}a^2+a^2 =\frac{a^2}{2}-\frac{a^3}{6} $$

また、

$$ F(1)=\frac{1}{3}-\frac{a+1}{2}+a =\frac{3a-1}{6} $$

さらに、

$$ F(2)=\frac{8}{3}-2(a+1)+2a =\frac{2}{3} $$

である。

よって、

$$ \begin{aligned} I &=2\left(\frac{a^2}{2}-\frac{a^3}{6}\right)-2\left(\frac{3a-1}{6}\right)+\frac{2}{3} \\ &=a^2-\frac{a^3}{3}-a+\frac{1}{3}+\frac{2}{3} \\ &=1-a+a^2-\frac{a^3}{3} \end{aligned} $$

したがって、

$$ I=1-a+a^2-\frac{a^3}{3} $$

である。

解説

この問題の要点は、絶対値の中身を因数分解して零点を見つけることである。 二次式をそのまま積分しようとすると扱いにくいが、

$$ x^2-(a+1)x+a=(x-1)(x-a) $$

と見れば、$0\le a\le 1$ の条件から符号変化の位置がすぐに分かる。

絶対値付き積分では、グラフの上下関係、すなわち「どこで正か負か」を先に確定することが本質である。そこが見えれば、あとは区間ごとに普通に積分するだけである。

答え

$$ I=1-a+a^2-\frac{a^3}{3} $$