解説

方針・初手

右辺の

$$ \int_0^2 |f(t)|,dt $$

は $x$ によらない定数である。そこで

$$ A=\int_0^2 |f(t)|,dt $$

とおくと，$f(x)$ は

$$ f(x)=x^2-Ax $$

という2次関数の形に限られる。あとはこの $f(x)$ を用いて再び $A$ を計算し，

$$ A=\int_0^2 |x^2-Ax|,dx $$

を満たす $A$ を求めればよい。

解法1

$A=\int_0^2 |f(t)|,dt$ とおくと，$A\geqq 0$ であり，

$$ f(x)=x^2-Ax=x(x-A) $$

である。

したがって $A$ は

$$ A=\int_0^2 |x(x-A)|,dx $$

を満たす。

ここで絶対値の中の符号は $A$ の値によって変わるので場合分けする。

**(i)**

$0\leqq A\leqq 2$ のとき

このとき $x\in[0,A]$ では $x-A\leqq 0$，$x\in[A,2]$ では $x-A\geqq 0$ だから，

$$ A=\int_0^A (Ax-x^2),dx+\int_A^2 (x^2-Ax),dx $$

となる。

第1項は

$$ \int_0^A (Ax-x^2),dx =\left[\frac{A}{2}x^2-\frac{1}{3}x^3\right]_0^A =\frac{A^3}{6} $$

である。

第2項は

$$ \int_A^2 (x^2-Ax),dx =\left[\frac{1}{3}x^3-\frac{A}{2}x^2\right]_A^2 =\frac{8}{3}-2A+\frac{A^3}{6} $$

である。

よって

$$ A=\frac{A^3}{3}-2A+\frac{8}{3} $$

すなわち

$$ A^3-9A+8=0 $$

を得る。

これを因数分解すると

$$ A^3-9A+8=(A-1)(A^2+A-8) $$

であるから，

$$ A=1,\ \frac{-1+\sqrt{33}}{2},\ \frac{-1-\sqrt{33}}{2} $$

を得る。このうち $0\leqq A\leqq 2$ を満たすのは

$$ A=1 $$

のみである。

したがって

$$ f(x)=x^2-x $$

を得る。

**(ii)**

$A\geqq 2$ のとき

区間 $[0,2]$ では常に $x-A\leqq 0$ だから，

$$ A=\int_0^2 (Ax-x^2),dx $$

となる。

よって

$$ A=\left[\frac{A}{2}x^2-\frac{1}{3}x^3\right]_0^2 =2A-\frac{8}{3} $$

であり，

$$ A=\frac{8}{3} $$

を得る。これは確かに $A\geqq 2$ を満たす。

したがって

$$ f(x)=x^2-\frac{8}{3}x $$

を得る。

以上より，条件を満たす関数は2つあり，

$$ f(x)=x^2-x,\qquad f(x)=x^2-\frac{8}{3}x $$

である。

解説

この問題の要点は，積分

$$ \int_0^2 |f(t)|,dt $$

が $x$ に関してはただの定数だと見抜くことである。これにより $f(x)$ の形が最初から $x^2-Ax$ に固定される。

その後は，絶対値を含む積分

$$ \int_0^2 |x(x-A)|,dx $$

の符号変化を正確に追うだけである。$A$ の位置が区間 $[0,2]$ の中にあるか外にあるかで場合分けするのが本質であり，ここを曖昧にすると解を落とす。

答え

$$ f(x)=x^2-x \quad \text{または} \quad f(x)=x^2-\frac{8}{3}x $$