解説

方針・初手

絶対値の中身は

$$ x(x-a)=x^2-ax $$

であり、$0<a<1$ のもとで $x=0,\ a$ を境に符号が変わる。したがって、まず $x(x-a)$ の符号を区間ごとに調べ、$|x(x-a)|$ を場合分けして表すのが基本方針である。

そのうえで、積分は区間 $[0,a]$ と $[a,1]$ に分けて計算し、最後は $a$ の関数として最小値を調べる。

解法1

（1） グラフを調べる。

まず

$$ y=x(x-a)=x^2-ax $$

は上に開く放物線であり、$x=0,\ a$ で $x$ 軸と交わる。

また、$0<a<1$ より

• $0<x<a$ では $x>0,\ x-a<0$ なので $x(x-a)<0$
• $x>a$ では $x>0,\ x-a>0$ なので $x(x-a)>0$

となる。したがって、絶対値をつけた

$$ y=|x(x-a)| $$

は

$$ y= \begin{cases} ax-x^2 & (0\le x\le a) \\ x^2-ax & (a\le x\le 1) \end{cases} $$

である。

よって、$0\le x\le a$ では放物線 $y=x^2-ax$ の $x$ 軸より下の部分を上に折り返した形になり、$a\le x\le 1$ ではそのまま $y=x^2-ax$ となる。

特に、$0\le x\le a$ では頂点は $x=\dfrac a2$ にあり、そのとき

$$ y=\left|\frac a2\left(\frac a2-a\right)\right| =\frac{a^2}{4} $$

である。したがって、グラフは $(0,0)$ から出発し、$\left(\dfrac a2,\dfrac{a^2}{4}\right)$ を通って $(a,0)$ に戻り、その後は $(a,0)$ から右上がりに増加する上に開く放物線の一部である。

**(2)**

$f(a)$ を $a$ の式で表す。

（1） より

$$ f(a)=\int_0^1 |x(x-a)|,dx =\int_0^a (ax-x^2),dx+\int_a^1 (x^2-ax),dx $$

である。

第1項は

$$ \int_0^a (ax-x^2),dx =\left[\frac a2x^2-\frac13x^3\right]_0^a =\frac{a^3}{2}-\frac{a^3}{3} =\frac{a^3}{6} $$

第2項は

$$ \int_a^1 (x^2-ax),dx =\left[\frac13x^3-\frac a2x^2\right]_a^1 =\left(\frac13-\frac a2\right)-\left(\frac13a^3-\frac12a^3\right) =\frac13-\frac a2+\frac{a^3}{6} $$

である。

したがって

$$ f(a)=\frac{a^3}{6}+\left(\frac13-\frac a2+\frac{a^3}{6}\right) =\frac13-\frac a2+\frac{a^3}{3} $$

となる。

**(3)**

$f(a)$ の最小値を求める。

（2） より

$$ f(a)=\frac13-\frac a2+\frac{a^3}{3} \qquad (0<a<1) $$

であるから、微分すると

$$ f'(a)=-\frac12+a^2 $$

となる。

よって

$$ f'(a)=0 \iff a^2=\frac12 \iff a=\frac{1}{\sqrt2} $$

である。ただし $0<a<1$ より、適するのは $a=\dfrac1{\sqrt2}$ のみである。

さらに

$$ f''(a)=2a>0 \qquad (0<a<1) $$

だから、$a=\dfrac1{\sqrt2}$ で極小となり、しかもこの区間内で最小値を与える。

その値は

$$ f\left(\frac1{\sqrt2}\right) =\frac13-\frac{1}{2\sqrt2}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2\sqrt2} =\frac13-\frac{1}{3\sqrt2} =\frac{2-\sqrt2}{6} $$

である。

解説

この問題の要点は、絶対値を外すために $x(x-a)$ の符号を正確に見ることである。$0<a<1$ なので、積分区間 $[0,1]$ の中で符号が変わるのは $x=a$ の1か所だけであり、そこで区間を分ければよい。

また、積分後は3次式になるが、最小値は微分して調べれば素直に求まる。グラフを先に描いておくと、$[0,a]$ では折り返し、$[a,1]$ ではそのままという構造が見え、積分の分割が自然に理解できる。

答え

**(1)**

$$ y= \begin{cases} ax-x^2 & (0\le x\le a) \\ x^2-ax & (a\le x\le 1) \end{cases} $$

したがって、$(0,0)$ と $(a,0)$ を結び、$0\le x\le a$ では上にふくらみ、$a\le x\le 1$ では上に開く放物線の一部となる。

**(2)**

$$ f(a)=\frac13-\frac a2+\frac{a^3}{3} $$

**(3)**

$$ f(a)\text{ の最小値}=\frac{2-\sqrt2}{6} $$

そのとき

$$ a=\frac1{\sqrt2} $$

である。