解説

方針・初手

まず

$$ f(x)=\frac{x+|x|}{2} $$

がどのような関数かを確認する。$|x|$ を含むので、$x$ の符号で場合分けすると

$$ f(x)= \begin{cases} 0 & (x<0) \\ x & (x\geqq 0) \end{cases} $$

となる。したがって $f(x)$ は「$x$ が正のときは $x$、負のときは $0$」となる関数である。

これを用いて

$$ g(x)=f(1-x)+f(1+x) $$

を、$1-x,\ 1+x$ の符号が変わる $x=-1,\ 1$ を境に場合分けすればよい。

解法1

$1-x,\ 1+x$ の符号に注目して、$x$ を 3 つの範囲に分ける。

**(i)**

$x<-1$ のとき

このとき $1+x<0,\ 1-x>0$ であるから、

$$ f(1+x)=0,\qquad f(1-x)=1-x $$

より

$$ g(x)=1-x $$

となる。

**(ii)**

$-1\leqq x\leqq 1$ のとき

このとき $1-x\geqq 0,\ 1+x\geqq 0$ であるから、

$$ f(1-x)=1-x,\qquad f(1+x)=1+x $$

より

$$ g(x)=(1-x)+(1+x)=2 $$

となる。

**(iii)**

$x>1$ のとき

このとき $1-x<0,\ 1+x>0$ であるから、

$$ f(1-x)=0,\qquad f(1+x)=1+x $$

より

$$ g(x)=1+x $$

となる。

以上より、

$$ g(x)= \begin{cases} 1-x & (x<-1) \\ 2 & (-1\leqq x\leqq 1) \\ 1+x & (x>1) \end{cases} $$

である。

したがって $y=g(x)$ のグラフは、$-1\leqq x\leqq 1$ では水平線 $y=2$、その左側では直線 $y=1-x$、右側では直線 $y=1+x$ からなる。点 $(-1,2)$、$(1,2)$ でつながる折れ線状のグラフである。

次に積分を求める。

$$ \begin{aligned} \int_{-2}^{2} g(x),dx &= \int_{-2}^{-1}(1-x),dx + \int_{-1}^{1}2,dx + \int_{1}^{2}(1+x),dx \end{aligned} $$

それぞれ計算すると、

$$ \begin{aligned} \int_{-2}^{-1}(1-x),dx &= \left[x-\frac{x^2}{2}\right]_{-2}^{-1} \\ -\frac{3}{2}-(-4) \\ \frac{5}{2} \end{aligned} $$

$$ \int_{-1}^{1}2,dx=2\cdot 2=4 $$

$$ \begin{aligned} \int_{1}^{2}(1+x),dx &= \left[x+\frac{x^2}{2}\right]_{1}^{2} \\ 4-\frac{3}{2} \\ \frac{5}{2} \end{aligned} $$

よって

$$ \begin{aligned} \int_{-2}^{2} g(x),dx &= \frac{5}{2}+4+\frac{5}{2} \\ 9 \end{aligned} $$

となる。

解説

$f(x)=\dfrac{x+|x|}{2}$ をそのまま扱うと見通しが悪いが、まず

$$ f(x)= \begin{cases} 0 & (x<0) \\ x & (x\geqq 0) \end{cases} $$

と読み替えるのが基本である。

そのうえで $g(x)=f(1-x)+f(1+x)$ は、$1-x$ と $1+x$ の符号が変わる $x=-1,\ 1$ を境に場合分けすれば一気に求まる。絶対値を含む関数では、「どこで符号が変わるか」を先に押さえることが重要である。

答え

**(1)**

$$ g(x)= \begin{cases} 1-x & (x<-1) \\ 2 & (-1\leqq x\leqq 1) \\ 1+x & (x>1) \end{cases} $$

したがって、グラフは $-1\leqq x\leqq 1$ で $y=2$、左側で $y=1-x$、右側で $y=1+x$ である。

**(2)**

$$ \int_{-2}^{2} g(x),dx=9 $$