解説

方針・初手

被積分関数を

$$ g(y)=|y(y-5)| $$

とおくと、

$$ f(x)=\int_{x-2}^{x+2} g(y),dy $$

である。積分区間の長さは常に $4$ で、$x$ によって区間 $[x-2,x+2]$ が平行移動するだけであるから、$f(x)$ の増減を調べれば最小値が分かる。

可変上限・下限をもつ積分の微分法より、

$$ f'(x)=g(x+2)-g(x-2) $$

となる。したがって、$g(y)$ の式を場合分けして $f'(x)$ の符号を調べる。

解法1

$y\geqq 0$ において

$$ g(y)=|y(y-5)|= \begin{cases} 5y-y^2 & (0\leqq y\leqq 5)\\ y^2-5y & (y\geqq 5) \end{cases} $$

である。

ここで $x\geqq 2$ なので $x-2\geqq 0$ であり、$x$ の範囲に応じて $x-2,\ x+2$ が $5$ をまたぐかどうかで場合分けする。

**(i)**

$2\leqq x\leqq 3$ のとき

このとき $0\leqq x-2\leqq x+2\leqq 5$ であるから、

$$ f'(x)={5(x+2)-(x+2)^2}-{5(x-2)-(x-2)^2} $$

$$ =20-8x=4(5-2x) $$

したがって、

$$ 2\leqq x<\frac52 \text{ で } f'(x)>0,\qquad x>\frac52 \text{ で } f'(x)<0 $$

となる。

**(ii)**

$3\leqq x\leqq 7$ のとき

このとき $x-2\leqq 5\leqq x+2$ であるから、

$$ f'(x)={(x+2)^2-5(x+2)}-{5(x-2)-(x-2)^2} $$

$$ =2x^2-10x+8=2(x-1)(x-4) $$

よって、この範囲では

$$ 3\leqq x<4 \text{ で } f'(x)<0,\qquad x>4 \text{ で } f'(x)>0 $$

である。

**(iii)**

$x\geqq 7$ のとき

このとき $5\leqq x-2\leqq x+2$ であるから、

$$ f'(x)={(x+2)^2-5(x+2)}-{(x-2)^2-5(x-2)} $$

$$ =8x-20=4(2x-5)>0 $$

となる。

以上より、$f(x)$ は

• $2\leqq x<\dfrac52$ で増加
• $\dfrac52<x<4$ で減少
• $x>4$ で増加

する。したがって、最小値の候補は端点 $x=2$ と極小点 $x=4$ である。

実際に値を計算すると、

$$ f(2)=\int_0^4 |y(y-5)|,dy=\int_0^4 (5y-y^2),dy $$

$$ =\left[\frac52 y^2-\frac13 y^3\right]_0^4 =40-\frac{64}{3} =\frac{56}{3} $$

また、

$$ f(4)=\int_2^6 |y(y-5)|,dy =\int_2^5 (5y-y^2),dy+\int_5^6 (y^2-5y),dy $$

$$ =\left[\frac52 y^2-\frac13 y^3\right]_2^5+\left[\frac13 y^3-\frac52 y^2\right]_5^6 $$

$$ =\frac{27}{2}+\frac{17}{6} =\frac{49}{3} $$

であるから、

$$ f(4)<f(2) $$

となる。よって最小値は $x=4$ のときにとる。

解説

この問題の本質は、長さ一定の区間 $[x-2,x+2]$ 上で $|y(y-5)|$ の面積を最小にすることである。

単に積分を直接計算してもよいが、$f'(x)=g(x+2)-g(x-2)$ とおくと、「区間を少し右へずらしたとき、右端で増える面積と左端で減る面積の差」を見ればよくなる。こうすると計算量がかなり減る。

また、$|y(y-5)|$ は $y=0,5$ で $0$ になり、$y=5$ の近くでは値が小さい。実際、最小となる区間は $[2,6]$ で、$y=5$ を含む位置に来ることが分かる。

答え

最小値は

$$ \frac{49}{3} $$

であり、これは $x=4$ のときに達する。