解説

方針・初手

まず

$$ f(x)=x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=(x-\alpha)(x-\beta) $$

であることに注目する。

与えられた条件

$$ \int_{-1}^{1} f(x),dx=1 $$

から $\alpha,\beta$ の間の関係式を求める。すると $\beta$ を $\alpha$ で表せるので、$S=\int_0^\alpha f(x),dx$ を $\alpha$ の式に直し、最後に $\alpha$ の取りうる範囲で最大値を調べればよい。

解法1

条件 $\int_{-1}^{1} f(x),dx=1$ を計算する。

$$ \int_{-1}^{1} f(x),dx =\int_{-1}^{1}\left(x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta\right),dx $$

ここで

$$ \int_{-1}^{1} x^2,dx=\frac{2}{3},\qquad \int_{-1}^{1} x,dx=0,\qquad \int_{-1}^{1} 1,dx=2 $$

であるから、

$$ \frac{2}{3}+2\alpha\beta=1 $$

となる。したがって

$$ \alpha\beta=\frac{1}{6} $$

である。

また、条件 $0\leqq \alpha\leqq \beta$ より、$\alpha\beta=\frac16>0$ なので $\alpha>0$ である。さらに

$$ \beta=\frac{1}{6\alpha} $$

であり、$\alpha\leqq\beta$ から

$$ \alpha\leqq \frac{1}{6\alpha} $$

すなわち

$$ \alpha^2\leqq \frac16 $$

となる。よって $\alpha$ の範囲は

$$ 0<\alpha\leqq \frac{1}{\sqrt6} $$

である。

次に $S$ を $\alpha$ の式で表す。

$$ S=\int_0^\alpha f(x),dx =\int_0^\alpha \left(x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta\right),dx $$

より、

$$ \begin{aligned} S &=\left[\frac{x^3}{3}-\frac{\alpha+\beta}{2}x^2+\alpha\beta x\right]_0^\alpha \\ &=\frac{\alpha^3}{3}-\frac{\alpha+\beta}{2}\alpha^2+\alpha^2\beta \\ &=\frac{\alpha^3}{3}-\frac{\alpha^3}{2}-\frac{\alpha^2\beta}{2}+\alpha^2\beta \\ &=-\frac{\alpha^3}{6}+\frac{\alpha^2\beta}{2}. \end{aligned} $$

ここで $\alpha\beta=\frac16$ を用いると、

$$ \alpha^2\beta=\alpha\cdot \alpha\beta=\frac{\alpha}{6} $$

だから、

$$ S=-\frac{\alpha^3}{6}+\frac{1}{2}\cdot\frac{\alpha}{6} =\frac{\alpha}{12}-\frac{\alpha^3}{6} =\frac{\alpha-2\alpha^3}{12} $$

となる。

したがって

$$ S(\alpha)=\frac{\alpha-2\alpha^3}{12} \qquad \left(0<\alpha\leqq \frac{1}{\sqrt6}\right) $$

である。

これを最大化するために微分すると、

$$ S'(\alpha)=\frac{1-6\alpha^2}{12} $$

である。範囲 $0<\alpha\leqq \frac{1}{\sqrt6}$ において

$$ 1-6\alpha^2\geqq 0 $$

であるから、$S(\alpha)$ はこの範囲で単調増加する。よって最大値は端点 $\alpha=\frac{1}{\sqrt6}$ のときにとる。

そのとき

$$ \begin{aligned} S_{\max} &=\frac{1}{12}\left(\frac{1}{\sqrt6}-2\cdot \frac{1}{6\sqrt6}\right) \\ &=\frac{1}{12}\cdot \frac{2}{3\sqrt6} =\frac{1}{18\sqrt6} =\frac{\sqrt6}{108}. \end{aligned} $$

解説

この問題の核心は、積分条件から $\alpha\beta$ がただちに定まることである。二次式の係数をそのまま扱うよりも、まず $\alpha\beta=\frac16$ を出して $\beta=\frac{1}{6\alpha}$ とおくのが自然である。

また、$0\leqq \alpha\leqq \beta$ という条件は単なる付帯条件ではなく、$\alpha$ の範囲

$$ 0<\alpha\leqq \frac{1}{\sqrt6} $$

を決めるために必要である。$S$ を $\alpha$ の三次式に落としたあと、この範囲で最大値を調べる流れが標準的である。

答え

$$ S=\frac{\alpha-2\alpha^3}{12} \qquad \left(0<\alpha\leqq \frac{1}{\sqrt6}\right) $$

したがって、$S$ の最大値は

$$ \frac{1}{18\sqrt6}=\frac{\sqrt6}{108} $$

である。