解説

方針・初手

条件 (A) から係数 $b,c$ を $a$ で表すと、$f(x)$ は実質的に $a$ だけで決まる。

そのうえで、条件 (B) を

$$ 3x^2-1-f(x)\geqq 0 \qquad (-1\leqq x\leqq 1) $$

という二次式の符号条件に直し、$a$ の範囲を求める。最後に、その $a$ の範囲のもとで

$$ I=\int_{-1}^1 {f(x)}^2,dx $$

を $a$ の式で表して値域を調べる。

解法1

条件 (A) より

$$ f(1)=a+b+c=1,\qquad f(-1)=a-b+c=-1 $$

である。

この2式を加減すると

$$ 2b=2,\qquad 2a+2c=0 $$

となるので、

$$ b=1,\qquad c=-a $$

である。したがって

$$ f(x)=ax^2+x-a $$

と書ける。

ここで条件 (B) は

$$ ax^2+x-a\leqq 3x^2-1 \qquad (-1\leqq x\leqq 1) $$

であるから、

$$ q(x):=(3-a)x^2-x+(a-1)\geqq 0 \qquad (-1\leqq x\leqq 1) $$

が必要十分である。

まず端点では

$$ q(-1)=3,\qquad q(1)=1 $$

であり、いずれも正である。

以下、$a$ によって場合分けする。

**(i)**

$a\geqq 3$ のとき

$q(x)$ は下に凸ではなく、上に凸または一次式である。したがって $[-1,1]$ における最小値は端点でとる。

よって

$$ q(x)\geqq \min{q(-1),q(1)}=\min{3,1}=1>0 $$

となり、条件 (B) は常に成り立つ。

**(ii)**

$a<3$ のとき

$q(x)$ は下に凸であり、その軸は

$$ x=\frac{1}{2(3-a)} $$

である。

さらに $a\geqq \dfrac52$ なら

$$ \frac{1}{2(3-a)}\geqq 1 $$

であるから、区間 $[-1,1]$ では $q(x)$ の最小値は右端 $x=1$ でとる。よって

$$ q(x)\geqq q(1)=1>0 $$

となり、この場合も条件 (B) は成り立つ。

残るのは $a<\dfrac52$ の場合である。このとき軸は区間内にあるので、最小値は頂点でとる。したがって

$$ q!\left(\frac{1}{2(3-a)}\right)\geqq 0 $$

が必要十分である。

二次式の最小値を用いると

$$ q_{\min}=a-1-\frac{1}{4(3-a)} $$

であるから、

$$ a-1-\frac{1}{4(3-a)}\geqq 0 $$

すなわち

$$ 4(a-1)(3-a)-1\geqq 0 $$

となる。整理して

$$ -4a^2+16a-13\geqq 0 $$

すなわち

$$ 4a^2-16a+13\leqq 0 $$

である。これを解くと

$$ a=\frac{16\pm\sqrt{256-208}}{8} =2\pm\frac{\sqrt3}{2} $$

より

$$ 2-\frac{\sqrt3}{2}\leqq a\leqq 2+\frac{\sqrt3}{2} $$

である。

ただし今は $a<\dfrac52$ の場合を見ているので、この部分では

$$ 2-\frac{\sqrt3}{2}\leqq a<\frac52 $$

となる。

以上をまとめると、条件 (B) を満たすための必要十分条件は

$$ a\geqq 2-\frac{\sqrt3}{2} $$

である。

次に $I$ を求める。

$$ f(x)=a(x^2-1)+x $$

より

$$ {f(x)}^2=a^2(x^2-1)^2+2ax(x^2-1)+x^2 $$

である。ここで $2ax(x^2-1)$ は奇関数なので、

$$ \int_{-1}^1 2ax(x^2-1),dx=0 $$

となる。したがって

$$ I=a^2\int_{-1}^1 (x^2-1)^2,dx+\int_{-1}^1 x^2,dx $$

である。

それぞれ計算すると

$$ \int_{-1}^1 (x^2-1)^2,dx =\int_{-1}^1 (x^4-2x^2+1),dx =\frac25-\frac43+2 =\frac{16}{15} $$

および

$$ \int_{-1}^1 x^2,dx=\frac23 $$

であるから、

$$ I=\frac{16}{15}a^2+\frac23 $$

となる。

ここで $a\geqq 2-\dfrac{\sqrt3}{2}>0$ なので、$I$ は $a$ の増加とともに増加する。よって最小値は

$$ a=2-\frac{\sqrt3}{2} $$

のときにとる。

その値は

$$ I_{\min} =\frac{16}{15}\left(2-\frac{\sqrt3}{2}\right)^2+\frac23 =\frac{16}{15}\left(\frac{19}{4}-2\sqrt3\right)+\frac{10}{15} =\frac{86-32\sqrt3}{15} $$

である。

また、$a\to\infty$ とすれば $I\to\infty$ であるから、上には限られない。

解説

この問題の本質は、条件 (A) により二次関数の自由度が1つに落ちることと、条件 (B) を「ある二次式が区間上で常に非負」という問題に言い換えることである。

そのあとで積分を直接計算すると、$I$ は $a$ の二次式になる。しかも許される $a$ の範囲が下からのみ制限されているため、最小値は下端でとり、最大値は存在しない。

特に、対称区間 $[-1,1]$ 上では奇関数の積分が $0$ になることを使うと、計算がかなり簡潔になる。

答え

$$ I=\int_{-1}^1 {f(x)}^2,dx $$

のとりうる値の範囲は

$$ \frac{86-32\sqrt3}{15}\leqq I<\infty $$

である。