解説

方針・初手

被積分関数を展開すると、$x$ についての2次式がきれいに平方完成できる。

まず

$$ (x-t+2)(x+t)=x^2+2x+t(2-t)=(x+1)^2-(t-1)^2 $$

となる。そこで

$$ a=t-1 \quad (a\geqq 0), \qquad y=x+1 $$

とおくと、$x\in[-1,1]$ は $y\in[0,2]$ に対応し、

$$ f(t)=\int_{-1}^1 \left|(x+1)^2-(t-1)^2\right|,dx =\int_0^2 |y^2-a^2|,dy $$

となる。したがって、$a\geqq 0$ に対して

$$ \int_0^2 |y^2-a^2|,dy $$

を最小にすればよい。

解法1

$|y^2-a^2|$ の符号は、$y=a$ を境に変わる可能性があるので、$a$ の範囲で場合分けする。

（i） $0\leqq a\leqq 2$ のとき

このとき $0\leqq y\leqq a$ では $y^2-a^2\leqq 0$、$a\leqq y\leqq 2$ では $y^2-a^2\geqq 0$ であるから、

$$ f(t)=\int_0^a (a^2-y^2),dy+\int_a^2 (y^2-a^2),dy $$

となる。

それぞれ計算すると、

$$ \begin{aligned} \int_0^a (a^2-y^2),dy &= \left[a^2y-\frac{y^3}{3}\right]_0^a \\ a^3-\frac{a^3}{3} \\ \frac{2}{3}a^3 \end{aligned} $$

であり、

$$ \begin{aligned} \int_a^2 (y^2-a^2),dy &= \left[\frac{y^3}{3}-a^2y\right]_a^2 \\ \left(\frac{8}{3}-2a^2\right)-\left(\frac{a^3}{3}-a^3\right) \\ \frac{8}{3}-2a^2+\frac{2}{3}a^3 \end{aligned} $$

である。したがって

$$ f(t)=\frac{8}{3}-2a^2+\frac{4}{3}a^3 \qquad (0\leqq a\leqq 2) $$

を得る。

これを微分すると、

$$ \frac{d}{da}f(t)=-4a+4a^2=4a(a-1) $$

である。よって

• $0<a<1$ では減少
• $1<a<2$ では増加

となるから、この範囲での最小値は $a=1$ のときに生じる。

その値は

$$ f(t)=\frac{8}{3}-2+\frac{4}{3}=2 $$

である。

（ii） $a\geqq 2$ のとき

このとき $0\leqq y\leqq 2<a$ であるから、常に $y^2-a^2\leqq 0$ であり、

$$ \begin{aligned} f(t)=\int_0^2 (a^2-y^2),dy &= \left[a^2y-\frac{y^3}{3}\right]_0^2 \\ 2a^2-\frac{8}{3} \end{aligned} $$

となる。

これは $a\geqq 2$ で単調増加だから、この範囲での最小値は $a=2$ のときで、

$$ f(t)=2\cdot 2^2-\frac{8}{3}=\frac{16}{3} $$

である。

まとめ

（i） より $0\leqq a\leqq 2$ での最小値は $2$、（ii） より $a\geqq 2$ での最小値は $\dfrac{16}{3}$ であるから、全体の最小値は $2$ である。

しかもそれは

$$ a=1 $$

すなわち

$$ t-1=1 $$

より

$$ t=2 $$

のときに実現する。

解説

この問題の要点は、被積分関数を

$$ (x-t+2)(x+t)=(x+1)^2-(t-1)^2 $$

と変形して、絶対値の中身を「2乗どうしの差」に直すことである。これにより、符号が変わる位置が $y=a$ と明確になり、積分区間を分けて処理できる。

元のまま根の位置 $x=-t,\ t-2$ を追って場合分けしても解けるが、$y=x+1,\ a=t-1$ とおくと区間が $[0,2]$ に固定され、見通しがかなり良くなる。

答え

$f(t)$ を最小にする $t$ の値は

$$ t=2 $$

そのときの最小値は

$$ 2 $$

である。