解説

方針・初手

絶対値の中を

$$ f(x)=x^2-2(a+1)x+a^2+2a $$

とおくと，

$$ f(x)=(x-a)(x-a-2) $$

と因数分解できる。$a\geqq 0$ のもとで，区間 $0\leqq x\leqq 1$ における $f(x)$ の符号を調べれば，絶対値を外して積分できる。

解法1

まず

$$ f(x)=(x-a)(x-a-2) $$

である。

区間 $0\leqq x\leqq 1$ では

$$ x-a-2\leqq 1-a-2=-a-1<0 $$

が常に成り立つ。したがって，$f(x)$ の符号は $x-a$ の符号と逆になる。

よって $a$ の値によって場合分けする。

**(i)**

$0\leqq a\leqq 1$ のとき

このとき $x=a$ が区間 $[0,1]$ に入るので，

• $0\leqq x\leqq a$ では $x-a\leqq 0$ より $f(x)\geqq 0$
• $a\leqq x\leqq 1$ では $x-a\geqq 0$ より $f(x)\leqq 0$

となる。したがって

$$ S(a)=\int_0^a f(x),dx-\int_a^1 f(x),dx $$

である。

ここで

$$ \int f(x),dx=\frac{x^3}{3}-(a+1)x^2+(a^2+2a)x $$

より，

$$ \int_0^a f(x),dx =\frac{a^3}{3}-(a+1)a^2+(a^2+2a)a =\frac{a^3}{3}+a^2 $$

また

$$ \int_0^1 f(x),dx =\frac13-(a+1)+(a^2+2a) =a^2+a-\frac23 $$

であるから，

$$ \begin{aligned} S(a) &=2\int_0^a f(x),dx-\int_0^1 f(x),dx \\ &=2\left(\frac{a^3}{3}+a^2\right)-\left(a^2+a-\frac23\right) \\ &=\frac{2}{3}a^3+a^2-a+\frac23 \end{aligned} $$

を得る。

**(ii)**

$a\geqq 1$ のとき

区間 $0\leqq x\leqq 1$ では常に $x-a\leqq 0$ であるから，$f(x)\geqq 0$ となる。よって

$$ S(a)=\int_0^1 f(x),dx=a^2+a-\frac23 $$

である。

以上より，

$$ S(a)= \begin{cases} \dfrac{2}{3}a^3+a^2-a+\dfrac23 & (0\leqq a\leqq 1)\\[6pt] a^2+a-\dfrac23 & (a\geqq 1) \end{cases} $$

となる。

次に最小値を調べる。

**(iii)**

$0\leqq a\leqq 1$ の範囲

$$ S'(a)=2a^2+2a-1 $$

であるから，

$$ 2a^2+2a-1=0 $$

を解いて

$$ a=\frac{-1\pm\sqrt3}{2} $$

を得る。$0\leqq a\leqq 1$ に入るのは

$$ a=\frac{\sqrt3-1}{2} $$

のみである。

さらに

$$ S''(a)=4a+2>0 $$

であるから，この点で最小となる。

**(iv)**

$a\geqq 1$ の範囲

$$ S'(a)=2a+1>0 $$

であるから，$S(a)$ は単調増加であり，この範囲での最小は $a=1$ のときである。

そこで値を比べると，

$$ S(1)=1+1-\frac23=\frac43 $$

一方，

$$ S\left(\frac{\sqrt3-1}{2}\right)=\frac43-\frac{\sqrt3}{2} $$

であり，

$$ \frac43-\frac{\sqrt3}{2}<\frac43 $$

だから，全体での最小は

$$ a=\frac{\sqrt3-1}{2} $$

のときである。

解説

絶対値付きの積分では，まず中身の符号変化を調べるのが基本である。この問題では

$$ x^2-2(a+1)x+a^2+2a=(x-a)(x-a-2) $$

と因数分解できるので，符号の判定が非常に簡単になる。

特に $x-a-2<0$ が区間 $[0,1]$ で常に成り立つため，符号の変化は $x=a$ が区間内に入るかどうかだけを見ればよい。したがって $0\leqq a\leqq 1$ と $a\geqq 1$ の場合分けが自然に出てくる。

答え

**(1)**

$$ S(a)= \begin{cases} \dfrac{2}{3}a^3+a^2-a+\dfrac23 & (0\leqq a\leqq 1)\\[6pt] a^2+a-\dfrac23 & (a\geqq 1) \end{cases} $$

**(2)**

$S(a)$ が最小となる $a$ の値は

$$ \frac{\sqrt3-1}{2} $$

である。