解説

方針・初手

絶対値の中身 $x^2-a^2$ の符号を調べるのが基本である。

$x\in[0,1]$ に対し、$x^2-a^2=0$ となるのは $x=|a|$ であるから、符号の変化が起こるかどうかは $|a|$ が区間 $[0,1]$ に入るかで決まる。

また、被積分関数は $a^2$ だけで決まるので

$$ I(-a)=I(a) $$

である。したがって、最小値を考えるときは $a\geqq 0$ に限ってよい。

解法1

**(1)**

$a\geqq 1$ のとき

$0\leqq x\leqq 1$ では $x^2\leqq 1\leqq a^2$ であるから、

$$ x^2-a^2\leqq 0 $$

となる。よって

$$ |x^2-a^2|=a^2-x^2 $$

であり、

$$ I(a)=\int_0^1 (a^2-x^2),dx = a^2-\frac13 $$

となる。

**(2)**

$0\leqq a\leqq 1$ のとき

このとき $x=a$ で符号が変わるので、積分を $x=a$ で分ける。

$0\leqq x\leqq a$ では $x^2-a^2\leqq 0$、$a\leqq x\leqq 1$ では $x^2-a^2\geqq 0$ であるから、

$$ I(a)=\int_0^a (a^2-x^2),dx+\int_a^1 (x^2-a^2),dx $$

である。これを計算すると、

$$ \begin{aligned} I(a) &=\left[a^2x-\frac{x^3}{3}\right]_0^a+\left[\frac{x^3}{3}-a^2x\right]_a^1 \\ &=\left(a^3-\frac{a^3}{3}\right)+\left(\frac13-a^2-\frac{a^3}{3}+a^3\right) \\ &=\frac13-a^2+\frac43a^3 \end{aligned} $$

となる。

**(3)**

$I(a)$ の最小値

先に述べたように $I(-a)=I(a)$ であるから、$a\geqq 0$ に限って考えれば十分である。

**(i)**

$0\leqq a\leqq 1$ のとき

（2） の結果より

$$ I(a)=\frac13-a^2+\frac43a^3 $$

である。これを変形すると、

$$ \begin{aligned} I(a)-\frac14 &=\frac13-a^2+\frac43a^3-\frac14 \\ &=\frac{16a^3-12a^2+1}{12} \\ &=\frac{(2a-1)^2(4a+1)}{12} \end{aligned} $$

となる。$0\leqq a\leqq 1$ では $4a+1>0$ であるから、

$$ I(a)\geqq \frac14 $$

であり、等号は $2a-1=0$、すなわち

$$ a=\frac12 $$

のときに成り立つ。

**(ii)**

$a\geqq 1$ のとき

（1） の結果より

$$ I(a)=a^2-\frac13\geqq 1-\frac13=\frac23 $$

である。したがって、この範囲では $\frac14$ より小さくならない。

以上より、実数全体での最小値は

$$ \frac14 $$

であり、これは $a=\pm \frac12$ のときにとる。

解説

この問題の本質は、絶対値をそのまま扱わず、まず $x^2-a^2$ の符号を区間 $[0,1]$ 上で判定することである。

場合分けの境目は $x=|a|$ が区間内に入るかどうかであり、ここを見抜ければ （1） と （2） は機械的に計算できる。

また （3） では、$a$ が実数全体を動くことを見落としやすいが、$I(-a)=I(a)$ であるため $a\geqq 0$ に絞れる。さらに、$0\leqq a\leqq 1$ で得られた式を平方の形を含む形に変形すると、微分を使わずに最小値まで処理できる。

答え

**(1)**

$a\geqq 1$ のとき

$$ I(a)=a^2-\frac13 $$

**(2)**

$0\leqq a\leqq 1$ のとき

$$ I(a)=\frac13-a^2+\frac43a^3 $$

**(3)**

$I(a)$ の最小値は

$$ \frac14 $$

であり、そのとき

$$ a=\pm \frac12 $$

である。