解説

方針・初手

条件 $f(1)=1,\ f(-1)=-1$ と

$$ \int_{-1}^{1}(bx^2+cx+d),dx=1 $$

から、係数 $b,c,d$ を $a$ で表してしまう。すると $f(x)$ は1文字 $a$ を含む形に整理できる。

一方、

$$ f''(x)=6ax+2b $$

であるから、求める積分 $I$ は $a$ の2次式になる。したがって平方完成により最小値を求めればよい。

解法1

$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ とする。

まず条件 $f(1)=1,\ f(-1)=-1$ より、

$$ a+b+c+d=1 $$

$$ -a+b-c+d=-1 $$

を得る。これらを加えると

$$ 2b+2d=0 $$

より

$$ d=-b $$

である。また、上の2式の差をとると

$$ 2a+2c=2 $$

より

$$ c=1-a $$

である。

次に、積分条件

$$ \int_{-1}^{1}(bx^2+cx+d),dx=1 $$

を用いる。奇関数 $cx$ の積分は $[-1,1]$ で $0$ だから、

$$ \int_{-1}^{1}(bx^2+cx+d),dx = b\int_{-1}^{1}x^2,dx + d\int_{-1}^{1}1,dx $$

である。したがって

$$ b\cdot \frac{2}{3}+d\cdot 2=1 $$

ここで $d=-b$ を代入すると、

$$ \frac{2}{3}b-2b=1 $$

$$ -\frac{4}{3}b=1 $$

$$ b=-\frac34 $$

よって

$$ d=\frac34 $$

となる。以上より

$$ c=1-a,\quad b=-\frac34,\quad d=\frac34 $$

であるから、

$$ f(x)=ax^3-\frac34x^2+(1-a)x+\frac34 $$

と表される。

ここで

$$ f''(x)=6ax+2b=6ax-\frac32 $$

であるから、

$$ I=\int_{-1}^{1/2}{f''(x)}^2,dx =\int_{-1}^{1/2}\left(6ax-\frac32\right)^2dx $$

となる。展開すると

$$ I=\int_{-1}^{1/2}\left(36a^2x^2-18ax+\frac94\right)dx $$

である。

各項を積分すると、

$$ \int_{-1}^{1/2}x^2,dx =\left[\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{1/2} =\frac38 $$

$$ \int_{-1}^{1/2}x,dx =\left[\frac{x^2}{2}\right]_{-1}^{1/2} =-\frac38 $$

$$ \int_{-1}^{1/2}1,dx=\frac32 $$

だから、

$$ I=36a^2\cdot\frac38-18a\cdot\left(-\frac38\right)+\frac94\cdot\frac32 $$

$$ I=\frac{27}{2}a^2+\frac{27}{4}a+\frac{27}{8} $$

これを平方完成すると、

$$ I=\frac{27}{8}(4a^2+2a+1) $$

$$ =\frac{27}{8}\left\{4\left(a+\frac14\right)^2+\frac34\right\} $$

したがって $I$ が最小となるのは

$$ a=-\frac14 $$

のときであり、そのとき

$$ I_{\min}=\frac{27}{8}\cdot\frac34=\frac{81}{32} $$

である。

このとき

$$ c=1-a=\frac54 $$

なので、求める3次関数は

$$ f(x)=-\frac14x^3-\frac34x^2+\frac54x+\frac34 $$

である。

解説

この問題の要点は、条件が3つあるとはいえ未知数 $a,b,c,d$ が4個あるので、まず自由度が1つ残ることを見抜くことである。実際、条件から $b,c,d$ を $a$ で表せば、$f(x)$ は1変数の族になる。

そのうえで $f''(x)$ は1次式であり、${f''(x)}^2$ の積分は結局 $a$ の2次式になる。したがって最小化は平方完成で機械的に処理できる。計算自体は重くないが、最初の連立整理を丁寧に行うことが重要である。

答え

求める3次関数は

$$ f(x)=-\frac14x^3-\frac34x^2+\frac54x+\frac34 $$

であり、このとき

$$ I=\int_{-1}^{1/2}{f''(x)}^2dx $$

の最小値は

$$ \frac{81}{32} $$

である。