解説

方針・初手

絶対値の中身 $x-t$ の符号は $t=x$ で変わる。したがって、$x$ が区間 $[1,2]$ の左側・内部・右側のどこにあるかで場合分けして $f(x)$ を具体式で表せば、グラフも最小値も求まる。

解法1

$f(x)=\displaystyle \int_1^2 |x-t|,dt$ を $x$ の位置で場合分けする。

**(i)**

$x\le 1$ のとき

このとき $1\le t\le 2$ では常に $x-t\le 0$ であるから、

$$ |x-t|=t-x $$

となる。よって

$$ f(x)=\int_1^2 (t-x),dt =\left[\frac{t^2}{2}-xt\right]_1^2 =\frac{3}{2}-x $$

**(ii)**

$1\le x\le 2$ のとき

このとき $t=x$ を境に符号が変わるので、

$$ f(x)=\int_1^x (x-t),dt+\int_x^2 (t-x),dt $$

と分ける。

前半は

$$ \int_1^x (x-t),dt =\left[xt-\frac{t^2}{2}\right]_1^x =\frac{(x-1)^2}{2} $$

後半は

$$ \int_x^2 (t-x),dt =\left[\frac{t^2}{2}-xt\right]_x^2 =\frac{(2-x)^2}{2} $$

である。したがって

$$ f(x)=\frac{(x-1)^2}{2}+\frac{(2-x)^2}{2} =x^2-3x+\frac{5}{2} =\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{1}{4} $$

**(iii)**

$x\ge 2$ のとき

このとき $1\le t\le 2$ では常に $x-t\ge 0$ であるから、

$$ |x-t|=x-t $$

となる。よって

$$ f(x)=\int_1^2 (x-t),dt =\left[xt-\frac{t^2}{2}\right]_1^2 =x-\frac{3}{2} $$

以上より、

$$ f(x)= \begin{cases} \displaystyle \frac{3}{2}-x & (x\le 1)\\ \displaystyle \left(x-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{1}{4} & (1\le x\le 2)\\ \displaystyle x-\frac{3}{2} & (x\ge 2) \end{cases} $$

したがって、$y=f(x)$ のグラフは

• $x\le 1$ では傾き $-1$ の直線
• $1\le x\le 2$ では頂点 $\left(\frac{3}{2},\frac{1}{4}\right)$ をもつ上に開く放物線
• $x\ge 2$ では傾き $1$ の直線

からなり、点 $\left(1,\frac{1}{2}\right)$、$\left(2,\frac{1}{2}\right)$ を通る。

また、中央部分の式

$$ f(x)=\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{1}{4} $$

より、最小値は

$$ \frac{1}{4} $$

であり、そのとき

$$ x=\frac{3}{2} $$

である。

解説

絶対値を含む積分では、まず絶対値の中身の符号がどこで変わるかを見るのが基本である。この問題では $x-t=0$ となる $t=x$ が分岐点であり、$x$ が区間 $[1,2]$ の外にあるか中にあるかで式が変わる。

特に $1\le x\le 2$ では、積分区間を $t=x$ で分けることが重要である。そこで得られる二次式を平方完成すれば、グラフの頂点と最小値がすぐに分かる。

答え

$$ f(x)= \begin{cases} \displaystyle \frac{3}{2}-x & (x\le 1)\\ \displaystyle \left(x-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{1}{4} & (1\le x\le 2)\\ \displaystyle x-\frac{3}{2} & (x\ge 2) \end{cases} $$

よって $y=f(x)$ のグラフは、点 $\left(1,\frac{1}{2}\right)$、$\left(2,\frac{1}{2}\right)$ を通り、区間 $1\le x\le 2$ で頂点 $\left(\frac{3}{2},\frac{1}{4}\right)$ をもつ上に開く放物線と、その両側の直線からなる。

$f(x)$ の最小値は

$$ \frac{1}{4} $$

であり、$x=\frac{3}{2}$ のときにとる。