解説

方針・初手

被積分関数は

$$ x^2-2ax=x(x-2a) $$

と因数分解できる。区間 $0\le x\le 1$ では常に $x\ge 0$ であるから，符号は $x-2a$ の符号だけで決まる。

したがって，$2a$ が区間 $[0,1]$ のどこにあるかで場合分けすればよい。

解法1

$I(a)$ の計算

$0\le x\le 1$ において，$x^2-2ax=x(x-2a)$ の符号を調べる。

**(i)**

$a\le 0$ のとき

このとき $2a\le 0$ であり，$0\le x\le 1$ では常に $x-2a\ge 0$ である。よって

$$ |x^2-2ax|=x^2-2ax $$

となるから，

$$ I(a)=\int_0^1 (x^2-2ax),dx =\left[\frac{x^3}{3}-ax^2\right]_0^1 =\frac13-a. $$

**(ii)**

$0\le a\le \dfrac12$ のとき

このとき $0\le 2a\le 1$ であり，$x=2a$ で符号が変わる。したがって

$$ I(a)=\int_0^{2a}(2ax-x^2),dx+\int_{2a}^1(x^2-2ax),dx $$

である。

前半は

$$ \int_0^{2a}(2ax-x^2),dx =\left[ax^2-\frac{x^3}{3}\right]_0^{2a} =4a^3-\frac{8a^3}{3} =\frac{4a^3}{3}. $$

後半は

$$ \int_{2a}^1(x^2-2ax),dx =\left[\frac{x^3}{3}-ax^2\right]_{2a}^1 =\left(\frac13-a\right)-\left(\frac{8a^3}{3}-4a^3\right) =\frac13-a+\frac{4a^3}{3}. $$

よって

$$ I(a)=\frac{4a^3}{3}+\left(\frac13-a+\frac{4a^3}{3}\right) =\frac13-a+\frac{8a^3}{3}. $$

**(iii)**

$a\ge \dfrac12$ のとき

このとき $2a\ge 1$ であり，$0\le x\le 1$ では常に $x-2a\le 0$ である。よって

$$ |x^2-2ax|=2ax-x^2 $$

となるから，

$$ I(a)=\int_0^1(2ax-x^2),dx =\left[ax^2-\frac{x^3}{3}\right]_0^1 =a-\frac13. $$

以上より，

$$ I(a)= \begin{cases} \dfrac13-a & (a\le 0),\\[4pt] \dfrac13-a+\dfrac{8a^3}{3} & \left(0\le a\le \dfrac12\right),\\[6pt] a-\dfrac13 & \left(a\ge \dfrac12\right). \end{cases} $$

$I(a)$ の最小値

**(i)**

$a\le 0$ では

$$ I(a)=\frac13-a $$

であり，$a$ が大きいほど小さい。したがってこの範囲での最小値は $a=0$ のとき

$$ I(0)=\frac13 $$

である。

**(ii)**

$a\ge \dfrac12$ では

$$ I(a)=a-\frac13 $$

であり，$a$ が小さいほど小さい。したがってこの範囲での最小値は $a=\dfrac12$ のとき

$$ I\left(\frac12\right)=\frac16 $$

である。

**(iii)**

$0\le a\le \dfrac12$ では

$$ I(a)=\frac13-a+\frac{8a^3}{3} $$

であるから，微分すると

$$ I'(a)=-1+8a^2. $$

したがって

$$ I'(a)=0 \iff 8a^2=1 \iff a=\frac{1}{2\sqrt2} $$

を得る。これは区間 $0\le a\le \dfrac12$ に含まれる。また，

$$ I''(a)=16a>0 \qquad \left(a=\frac{1}{2\sqrt2}\right) $$

より，$a=\dfrac{1}{2\sqrt2}$ で極小，したがってこの区間で最小となる。

そのとき

$$ I\left(\frac{1}{2\sqrt2}\right) =\frac13-\frac{1}{2\sqrt2}+\frac{8}{3}\left(\frac{1}{2\sqrt2}\right)^3. $$

ここで

$$ \left(\frac{1}{2\sqrt2}\right)^3=\frac{1}{16\sqrt2} $$

であるから，

$$ I\left(\frac{1}{2\sqrt2}\right) =\frac13-\frac{1}{2\sqrt2}+\frac{1}{6\sqrt2} =\frac13-\frac{1}{3\sqrt2} =\frac{2-\sqrt2}{6}. $$

これを他の範囲での最小値 $\dfrac13,\dfrac16$ と比べると

$$ \frac{2-\sqrt2}{6}<\frac16<\frac13 $$

であるから，全体の最小値は

$$ \frac{2-\sqrt2}{6} $$

であり，そのとき

$$ a=\frac{1}{2\sqrt2} $$

である。

解説

絶対値付き積分では，まず中身の符号がどこで変わるかを見るのが基本である。この問題では

$$ x^2-2ax=x(x-2a) $$

と因数分解でき，区間内で $x\ge 0$ が分かっているため，実質的には $x-2a$ の符号だけを見ればよい。

したがって，$2a\le 0$，$0\le 2a\le 1$，$2a\ge 1$ の3つに分けると自然に処理できる。最小値の議論も，場合分け後の式をそれぞれ調べれば確実である。

答え

**(1)**

$$ I(a)= \begin{cases} \dfrac13-a & (a\le 0),\\[4pt] \dfrac13-a+\dfrac{8a^3}{3} & \left(0\le a\le \dfrac12\right),\\[6pt] a-\dfrac13 & \left(a\ge \dfrac12\right). \end{cases} $$

**(2)**

$I(a)$ が最小となるのは

$$ a=\frac{1}{2\sqrt2} $$

のときであり，その最小値は

$$ I(a)=\frac{2-\sqrt2}{6} $$

である。