解説

方針・初手

右辺の積分

$$ \int_0^1 t f(t-1),dt $$

は積分変数が $t$ であり、$x$ を含まない定数である。したがって、与えられた等式は $f(x)$ が $x$ の1次式であることを示している。

まずこの積分を定数 $A$ とおき、$f(x)$ の形を決め、その後で $A$ を自己一致条件から求める。

解法1

定数

$$ A=\int_0^1 t f(t-1),dt $$

とおくと、与えられた式は

$$ f(x)=1+Ax $$

となる。

したがって、$t-1$ を代入すると

$$ f(t-1)=1+A(t-1)=1-A+At $$

である。これを $A$ の定義式に代入すると、

$$ \begin{aligned} A&=\int_0^1 t(1-A+At),dt \\ &=(1-A)\int_0^1 t,dt + A\int_0^1 t^2,dt \\ &=(1-A)\cdot \frac12 + A\cdot \frac13 \end{aligned} $$

となる。よって

$$ A=\frac{1-A}{2}+\frac{A}{3} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} A&=\frac12-\frac{A}{2}+\frac{A}{3} \\ &=\frac12-\frac{A}{6} \end{aligned} $$

したがって

$$ A+\frac{A}{6}=\frac12 $$

より

$$ \frac{7A}{6}=\frac12 $$

ゆえに

$$ A=\frac{3}{7} $$

である。

したがって

$$ f(x)=1+\frac{3}{7}x $$

を得る。

解説

この問題の要点は、積分

$$ \int_0^1 t f(t-1),dt $$

が $x$ に依らない定数であると見抜くことである。ここに気づけば、$f(x)$ はただちに1次式に限られる。

その後は、その1次式を再び積分の中に戻して係数を決めればよい。積分方程式であっても、右辺の積分が未知関数を通じて定数になっている型は、このように「まず定数化して形を決める」のが基本である。

答え

$$ f(x)=1+\frac{3}{7}x $$

である。