解説

方針・初手

求める値は

$$ \int_0^1 f(x),dx=\int_0^1\left(\int_0^1 |x^2-t^2|,dt\right)dx $$

である。

ここで $0\le x\le 1,\ 0\le t\le 1$ なので、$|x^2-t^2|$ の符号は $x=t$ を境に変わる。したがって、まず $f(x)$ を $t=x$ で場合分けして求め、そのあと $x$ で積分するのが自然である。

解法1

$0\le x\le 1$ に対して、$0\le t\le x$ では $x^2\ge t^2$、$x\le t\le 1$ では $x^2\le t^2$ である。よって

$$ f(x)=\int_0^x (x^2-t^2),dt+\int_x^1 (t^2-x^2),dt $$

となる。

まず第1項は

$$ \int_0^x (x^2-t^2),dt =x^2\cdot x-\frac{x^3}{3} =\frac{2}{3}x^3 $$

である。

次に第2項は

$$ \int_x^1 (t^2-x^2),dt =\int_x^1 t^2,dt-\int_x^1 x^2,dt =\frac{1-x^3}{3}-x^2(1-x) $$

である。これを整理すると

$$ \int_x^1 (t^2-x^2),dt =\frac{1}{3}-x^2+\frac{2}{3}x^3 $$

となる。

したがって

$$ f(x)=\frac{2}{3}x^3+\left(\frac{1}{3}-x^2+\frac{2}{3}x^3\right) =\frac{1}{3}-x^2+\frac{4}{3}x^3 $$

である。

よって

$$ \int_0^1 f(x),dx =\int_0^1 \left(\frac{1}{3}-x^2+\frac{4}{3}x^3\right)dx $$

$$ =\frac{1}{3}-\frac{1}{3}+\frac{4}{3}\cdot\frac{1}{4} =\frac{1}{3} $$

となる。

解法2

重積分としてまとめて考える。

$$ \int_0^1 f(x),dx =\int_0^1\int_0^1 |x^2-t^2|,dt,dx $$

と書ける。

正方形領域 $0\le x\le 1,\ 0\le t\le 1$ を、直線 $t=x$ で2つの三角形に分ける。$|x^2-t^2|$ は $x$ と $t$ を入れ替えても値が変わらないので、上下2つの三角形での積分値は等しい。したがって

$$ \int_0^1\int_0^1 |x^2-t^2|,dt,dx =2\int_0^1\int_0^x (x^2-t^2),dt,dx $$

となる。

内側を計算すると

$$ \int_0^x (x^2-t^2),dt =\frac{2}{3}x^3 $$

だから

$$ 2\int_0^1\int_0^x (x^2-t^2),dt,dx =2\int_0^1 \frac{2}{3}x^3,dx =\frac{4}{3}\cdot\frac{1}{4} =\frac{1}{3} $$

となる。

解説

この問題の要点は、絶対値の中身 $x^2-t^2$ の符号がどこで変わるかを正確に見ることである。$x,t\ge 0$ なので、$x^2-t^2$ の符号は $x-t$ の符号と一致し、境界は $t=x$ になる。

解法1は定義に忠実で、$f(x)$ を具体式にしてから積分する方法である。解法2は対称性を使う方法で、重積分としてみると計算がかなり簡潔になる。絶対値を含む2変数の積分では、領域を符号で分割して対称性を使う発想が有効である。

答え

$$ \int_0^1 f(x),dx=\frac{1}{3} $$