解説

方針・初手

まず折れ線を表す $f(x)$ を区間ごとに求める。すると $f(x)$ は $|x|$ と $x$ を用いて

$$ f(x)=|x|+2x+1 $$

と表せる。

一方，近似する関数 $a|x|+b$ は偶関数の形であり，$2x$ は奇関数である。区間 $[-1,1]$ では偶関数と奇関数の積の積分が $0$ になるので，この直交性を使うのが最も速い。

解法1

点 $(-1,0)$ と $(0,1)$ を結ぶ直線は $y=x+1$，点 $(0,1)$ と $(1,4)$ を結ぶ直線は $y=3x+1$ である。よって

$$ f(x)= \begin{cases} x+1 & (-1\le x\le 0),\\ 3x+1 & (0\le x\le 1) \end{cases} $$

となる。

これを $|x|$ を用いて書き直すと，

$$ f(x)=|x|+2x+1 $$

である。

ここで

$$ I(a,b)=\int_{-1}^{1}{f(x)-(a|x|+b)}^2,dx $$

とおく。すると

$$ f(x)-(a|x|+b)=(1-a)|x|+2x+(1-b) $$

であるから，

$$ u(x)=(1-a)|x|+(1-b),\qquad v(x)=2x $$

とおけば

$$ f(x)-(a|x|+b)=u(x)+v(x) $$

である。

このとき $u(x)$ は偶関数，$v(x)$ は奇関数なので，$u(x)v(x)$ は奇関数である。したがって

$$ \int_{-1}^{1}u(x)v(x),dx=0 $$

となる。よって

$$ \begin{aligned} I(a,b) &=\int_{-1}^{1}(u(x)+v(x))^2,dx\\ &=\int_{-1}^{1}u(x)^2,dx+2\int_{-1}^{1}u(x)v(x),dx+\int_{-1}^{1}v(x)^2,dx\\ &=\int_{-1}^{1}u(x)^2,dx+\int_{-1}^{1}v(x)^2,dx\\ &\ge \int_{-1}^{1}v(x)^2,dx \end{aligned} $$

となる。

等号成立は $\int_{-1}^{1}u(x)^2,dx=0$ のとき，すなわち $u(x)\equiv 0$ のときである。したがって

$$ (1-a)|x|+(1-b)\equiv 0 $$

より

$$ a=1,\qquad b=1 $$

である。

このとき

$$ I(1,1)=\int_{-1}^{1}(2x)^2,dx =4\int_{-1}^{1}x^2,dx =4\cdot \frac{2}{3} =\frac{8}{3} $$

となる。

解法2

区間ごとにそのまま積分してもよい。

$-1\le x\le 0$ では $f(x)=x+1,\ |x|=-x$ だから

$$ f(x)-(a|x|+b)=(a+1)x+(1-b) $$

である。

また $0\le x\le 1$ では $f(x)=3x+1,\ |x|=x$ だから

$$ f(x)-(a|x|+b)=(3-a)x+(1-b) $$

である。したがって

$$ \begin{aligned} I(a,b) &=\int_{-1}^{0}{(a+1)x+(1-b)}^2,dx+\int_{0}^{1}{(3-a)x+(1-b)}^2,dx\\ &=\frac{2}{3}a^2+2ab-\frac{10}{3}a+2b^2-6b+\frac{22}{3} \end{aligned} $$

となる。

これを整理すると

$$ I(a,b)=\frac{2}{3}(a-1)^2+2(a-1)(b-1)+2(b-1)^2+\frac{8}{3} $$

である。

したがって $I(a,b)$ は $a=1,\ b=1$ のとき最小となり，その最小値は

$$ \frac{8}{3} $$

である。

解説

この問題の本質は，$f(x)$ を

$$ f(x)=\bigl(|x|+1\bigr)+2x $$

と分解することである。近似する関数 $a|x|+b$ は $1$ と $|x|$ の一次結合なので偶関数の世界に属している。一方 $2x$ は奇関数であり，対称区間 $[-1,1]$ では偶関数と直交する。そのため，最小二乗近似では奇関数部分 $2x$ は消せず，偶関数部分 $\ |x|+1$ をそのまま採ればよい。

答え

$$ a=1,\qquad b=1 $$

そのとき

$$ \int_{-1}^{1}{f(x)-(a|x|+b)}^2,dx=\frac{8}{3} $$

である。