解説

方針・初手

$x$ の整数部分と小数部分に分けて考える。

$x=[x]+t\ (0\le t<1)$ とおくと，$t=x-[x]$ は小数部分であり，

$$ f(x)=[x]+2t-t^2 $$

と書ける。これを

$$ f(x)=x+t-t^2=x+t(1-t) $$

と見直すと，（1） と （2） はすぐに処理できる。（3） は区間ごとに $[x]$ を固定して式を書き下し，（4） は （2） を使って積分を整理する。

解法1

$x=[x]+t\ (0\le t<1)$ とおくと，$t=x-[x]$ であるから

$$ f(x)=[x]+2t-t^2 $$

であり，さらに $x=[x]+t$ より

$$ f(x)=x+t-t^2=x+t(1-t) $$

となる。

（1） $f(x)\ge x$ を示す

$0\le t<1$ だから

$$ t(1-t)\ge 0 $$

である。よって

$$ f(x)-x=t(1-t)\ge 0 $$

となり，

$$ f(x)\ge x $$

が成り立つ。

（2） $f(x+1)=f(x)+1$ を示す

$x=[x]+t\ (0\le t<1)$ とすると

$$ x+1=([x]+1)+t $$

であるから，$x+1$ の整数部分は $[x]+1$，小数部分は $t$ のままである。したがって

$$ f(x+1)=([x]+1)+2t-t^2 $$

である。一方，

$$ f(x)+1=([x]+2t-t^2)+1=([x]+1)+2t-t^2 $$

だから

$$ f(x+1)=f(x)+1 $$

が成り立つ。

（3） $0\le x\le 2$ における $y=f(x)$ のグラフ

$0\le x<1$ では $[x]=0$ だから

$$ f(x)=2x-x^2 $$

であり，$f(1)=1$ である。

また，$1\le x<2$ では $[x]=1$，$x-[x]=x-1$ だから

$$ f(x)=1+2(x-1)-(x-1)^2=-x^2+4x-2 $$

であり，$f(2)=2$ である。

したがって $0\le x\le 2$ では

$$ y= \begin{cases} 2x-x^2 & (0\le x\le 1),\\ -x^2+4x-2 & (1\le x\le 2) \end{cases} $$

となる。

（4） $0\le a<1$ のとき $\displaystyle \int_a^{a+1} f(x)\,dx$ を求める

積分区間を分けると

$$ \int_a^{a+1} f(x)\,dx=\int_a^1 f(x)\,dx+\int_1^{a+1} f(x)\,dx $$

である。

ここで （2） より $f(x+1)=f(x)+1$ だから，$x=u+1$ とおけば

$$ \int_1^{a+1} f(x)\,dx=\int_0^a f(u+1)\,du=\int_0^a \{f(u)+1\}\,du $$

となる。よって

$$ \int_a^{a+1} f(x)\,dx=\int_0^1 f(x)\,dx+a $$

である。

$0\le x<1$ では $f(x)=2x-x^2$ だから

$$ \int_0^1 f(x)\,dx=\int_0^1 (2x-x^2)\,dx=\left[x^2-\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac23 $$

となる。したがって

$$ \int_a^{a+1} f(x)\,dx=\frac23+a $$

である。

解説

小数部分

$$ t=x-[x] $$

を導入して

$$ f(x)=x+t(1-t) $$

と直すのが核心である。これにより （1） はただちに分かり，また小数部分が $1$ だけ平行移動しても変わらないことから （2） もすぐ示せる。

答え

**(1)**

$$ f(x)=x+(x-[x])\bigl(1-(x-[x])\bigr)\ge x $$

**(2)**

$$ f(x+1)=f(x)+1 $$

**(3)**

$0\le x\le 2$ では

$$ y= \begin{cases} 2x-x^2 & (0\le x\le 1),\\ -x^2+4x-2 & (1\le x\le 2) \end{cases} $$

**(4)**

$$ \int_a^{a+1} f(x)\,dx=\frac23+a \qquad (0\le a<1) $$