解説

方針・初手

偶関数・奇関数の判定は，定義式に $x \mapsto -x$ を代入して比較するのが基本である。

（1） は，$f(-x)=\pm f(x)$ を微分すればよい。

（2） は，$g(-x)$ を書いてから積分変数を $t=-u$ と置換し，$f$ の偶奇性を使う。

（3） は，$f(x)=x^n$ をそのまま代入して二項展開し，$\int_{-1}^1 t^m,dt$ が奇数冪で $0$ になることを用いて最高次の非零項を判定する。

解法1

**(1)**

$f$ が偶関数であるとする。このとき任意の $x$ に対して

$$ f(-x)=f(x) $$

が成り立つ。両辺を $x$ で微分すると，合成関数の微分より

$$ -f'(-x)=f'(x) $$

となる。したがって

$$ f'(-x)=-f'(x) $$

であるから，$f'(x)$ は奇関数である。

次に，$f$ が奇関数であるとする。このとき

$$ f(-x)=-f(x) $$

である。両辺を $x$ で微分すると

$$ -f'(-x)=-f'(x) $$

となるので，

$$ f'(-x)=f'(x) $$

である。よって $f'(x)$ は偶関数である。

**(2)**

$f$ が偶関数または奇関数であるとする。そこで

$$ f(-x)=\varepsilon f(x)\qquad (\varepsilon=1 \text{ または } -1) $$

と書く。$\varepsilon=1$ は偶関数，$\varepsilon=-1$ は奇関数に対応する。

このとき

$$ g(-x)=\int_{-1}^{1} f(t)f(-x-t),dt $$

である。ここで $t=-u$ とおくと，$dt=-du$ であり，積分区間は $t=-1,1$ に対して $u=1,-1$ となるから，

$$ \begin{aligned} g(-x) &=\int_{-1}^{1} f(-u)f(-x+u),du \\ &=\int_{-1}^{1} f(-u)f\bigl(-(x-u)\bigr),du. \end{aligned} $$

ここで $f(-u)=\varepsilon f(u)$，また $f\bigl(-(x-u)\bigr)=\varepsilon f(x-u)$ であるから，

$$ \begin{aligned} g(-x) &=\int_{-1}^{1} \varepsilon f(u)\cdot \varepsilon f(x-u),du \\ &=\varepsilon^2 \int_{-1}^{1} f(u)f(x-u),du \\ &=\int_{-1}^{1} f(u)f(x-u),du \\ &=g(x). \end{aligned} $$

したがって

$$ g(-x)=g(x) $$

であり，$g(x)$ は偶関数である。

**(3)**

$f(x)=x^n$ とすると，

$$ g(x)=\int_{-1}^{1} t^n(x-t)^n,dt $$

である。二項展開すると

$$ (x-t)^n=\sum_{k=0}^{n} {}_{n}\mathrm{C}_{k}x^{n-k}(-t)^k $$

であるから，

$$ \begin{aligned} g(x) &=\int_{-1}^{1} t^n \sum_{k=0}^{n}{}_{n}\mathrm{C}_{k}x^{n-k}(-t)^k,dt \\ &=\sum_{k=0}^{n} (-1)^k {}_{n}\mathrm{C}_{k} x^{n-k} \int_{-1}^{1} t^{n+k},dt. \end{aligned} $$

したがって $g(x)$ は整式である。

ここで

$$ \int_{-1}^{1} t^m,dt= \begin{cases} 0 & (m \text{ が奇数}),\\[1mm] \dfrac{2}{m+1} & (m \text{ が偶数}) \end{cases} $$

である。

よって非零項が現れるのは $n+k$ が偶数のときである。

まず $n$ が偶数のときは，$k=0$ で $n+k=n$ は偶数であるから最高次項は $x^n$ の項であり，その係数は

$$ \int_{-1}^{1} t^n,dt=\frac{2}{n+1} $$

である。したがって最高次の非零項は

$$ \frac{2}{n+1}x^n $$

である。

次に $n$ が奇数のときは，$k=0$ では $n+k=n$ が奇数なので $x^n$ の項は消える。最も次数の高い非零項は，最小の奇数 $k=1$ に対応する $x^{n-1}$ の項である。その係数は

$$ -{}_{n}\mathrm{C}_{1}\int_{-1}^{1} t^{n+1},dt =-n\cdot \frac{2}{n+2} =-\frac{2n}{n+2} $$

である。したがって最高次の非零項は

$$ -\frac{2n}{n+2}x^{n-1} $$

である。

解説

（1） は偶奇性の定義をそのまま微分するだけであるが，左辺の微分で連鎖律により $-f'(-x)$ となる点が要所である。

（2） では，$g(-x)$ の中に現れる $-x-t$ を $-(x-u)$ の形に直すために $t=-u$ と置換するのが自然である。偶関数でも奇関数でも，$f(-\cdot)$ によって出る符号は 2 回掛かるので打ち消し合い，結果として $g$ は偶関数になる。

（3） では，最高次項がそのまま残るとは限らない。実際，$n$ が奇数のとき $x^n$ の係数は $\int_{-1}^{1} t^n,dt=0$ により消える。この「対称区間で奇関数を積分すると $0$」という事実が決定的である。

答え

**(1)**

$f$ が偶関数ならば $f'(x)$ は奇関数，$f$ が奇関数ならば $f'(x)$ は偶関数である。

**(2)**

$f$ が偶関数または奇関数であるとき，$g(x)$ は偶関数である。

**(3)**

$f(x)=x^n$ のとき，$g(x)$ の最高次の非零項は

$$ \begin{cases} \dfrac{2}{n+1}x^n & (n \text{ が偶数}),\\[2mm] -\dfrac{2n}{n+2}x^{n-1} & (n \text{ が奇数}) \end{cases} $$

である。