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数学2 積分法「定積分」の問題37 解説

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数学2積分法定積分問題37

解説

両辺を $x$ で微分すると、積分で定義された左辺から $f(x)$ が直接求まる。

その後、$x=a$ を代入すると左辺が $0$ になるので、$a$ を決定できる。

与えられた関係式は

$$ \int_a^x f(t),dt = x^2-6x+9 $$

である。

両辺を $x$ で微分すると、微分積分学の基本定理より

$$ f(x)=\frac{d}{dx}(x^2-6x+9)=2x-6 $$

となる。

次に、$x=a$ を代入する。すると左辺は

$$ \int_a^a f(t),dt=0 $$

であるから、右辺も $0$ でなければならない。よって

$$ a^2-6a+9=0 $$

すなわち

$$ (a-3)^2=0 $$

より

$$ a=3 $$

である。

したがって、求める関数と定数は

$$ f(x)=2x-6,\quad a=3 $$

である。

この問題の要点は、積分で与えられた式を微分して被積分関数を取り出すことである。

また、積分区間の上下が同じとき積分値は $0$ になるので、$x=a$ を代入すれば定数 $a$ が求まる。微分して終わりではなく、この条件を使って下端の定数まで確定させるのが重要である。

$$ f(x)=2x-6,\quad a=3 $$