解説

方針・初手

被積分関数は $|\alpha^2-\alpha|=|\alpha(\alpha-1)|$ である。 したがって、まず $\alpha^2-\alpha$ の符号が変わる点を調べ、区間 $[0,2]$ を場合分けして絶対値を外す。

解法1

$$ \alpha^2-\alpha=\alpha(\alpha-1) $$

より、$\alpha^2-\alpha=0$ となるのは

$$ \alpha=0,\ 1 $$

である。

区間ごとの符号をみると、

**(i)**

$0\leqq \alpha \leqq 1$ のとき $\alpha\geqq 0,\ \alpha-1\leqq 0$ であるから

$$ \alpha^2-\alpha\leqq 0 $$

したがって

$$ |\alpha^2-\alpha|=-(\alpha^2-\alpha)=\alpha-\alpha^2 $$

である。

**(ii)**

$1\leqq \alpha \leqq 2$ のとき $\alpha\geqq 0,\ \alpha-1\geqq 0$ であるから

$$ \alpha^2-\alpha\geqq 0 $$

したがって

$$ |\alpha^2-\alpha|=\alpha^2-\alpha $$

である。

よって、求める積分は

$$ \int_0^2 |\alpha^2-\alpha|\,d\alpha =\int_0^1 (\alpha-\alpha^2)\,d\alpha +\int_1^2 (\alpha^2-\alpha)\,d\alpha $$

となる。

それぞれ計算すると、

$$ \int_0^1 (\alpha-\alpha^2)\,d\alpha =\left[\frac{\alpha^2}{2}-\frac{\alpha^3}{3}\right]_0^1 =\frac12-\frac13 =\frac16 $$

また、

$$ \int_1^2 (\alpha^2-\alpha)\,d\alpha =\left[\frac{\alpha^3}{3}-\frac{\alpha^2}{2}\right]_1^2 =\left(\frac83-2\right)-\left(\frac13-\frac12\right) =\frac56 $$

したがって、

$$ \int_0^2 |\alpha^2-\alpha|\,d\alpha=\frac16+\frac56=1 $$

解説

絶対値を含む積分では、まず中身の符号が変わる点を求めるのが基本である。 この問題では $\alpha^2-\alpha=\alpha(\alpha-1)$ と因数分解できるため、符号の変化点が $\alpha=0,1$ とすぐ分かる。 そのうち積分区間の内部にあるのは $\alpha=1$ だけなので、$[0,1]$ と $[1,2]$ に分ければよい。

答え

求める値は

$$ 1 $$

である。