解説

方針・初手

$f(x)$ を

$$ f(x)=ax^2+bx+c \qquad (a\neq 0) $$

とおく。

与えられた2条件は、$a,b,c$ に関する連立方程式に直せる。まずそこから $1$ 次の項の係数 $b$ を確定し、その後は解と係数の関係を用いて $\alpha,\beta$ の関係式を求める。最後に、その関係式を整数条件で絞り込めばよい。

解法1

$f(x)=ax^2+bx+c$ とする。

点 $(1,4)$ を通るから、

$$ a+b+c=4 $$

である。

また、

$$ \int_{-1}^{2} f(x),dx=15 $$

より、

$$ \int_{-1}^{2} (ax^2+bx+c),dx = a\int_{-1}^{2}x^2,dx+b\int_{-1}^{2}x,dx+c\int_{-1}^{2}1,dx $$

である。各積分を計算すると、

$$ \int_{-1}^{2}x^2,dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{2} =\frac{8-(-1)}{3}=3, $$

$$ \int_{-1}^{2}x,dx=\left[\frac{x^2}{2}\right]_{-1}^{2} =\frac{4-1}{2}=\frac{3}{2}, $$

$$ \int_{-1}^{2}1,dx=3 $$

であるから、

$$ 3a+\frac{3}{2}b+3c=15 $$

すなわち

$$ a+\frac12 b+c=5 $$

を得る。

ここで

$$ a+b+c=4 $$

との差をとると、

$$ \frac12 b=-1 $$

となるので、

$$ b=-2 $$

である。

したがって

$$ f(x)=ax^2-2x+c $$

であり、さらに $a+b+c=4$ から

$$ a+c=6 $$

が成り立つ。

次に、$f(x)=0$ の2つの解を $\alpha,\beta$ とする。

解と係数の関係より、

$$ \alpha+\beta=\frac{2}{a},\qquad \alpha\beta=\frac{c}{a} $$

である。ここで $c=6-a$ だから、

$$ \alpha\beta=\frac{6-a}{a}=\frac{6}{a}-1 $$

となる。一方、

$$ \alpha+\beta=\frac{2}{a} $$

であるから、

$$ \alpha\beta=3(\alpha+\beta)-1 $$

を得る。よって $\alpha,\beta$ の満たす関係式は

$$ \alpha\beta-3\alpha-3\beta+1=0 $$

である。これを変形すると、

$$ (\alpha-3)(\beta-3)=8 $$

となる。

最後に、$\alpha,\beta$ がともに正の整数となる場合を考える。

$(\alpha-3)(\beta-3)=8$ より、$\alpha-3,\beta-3$ は整数で、その積は $8$ である。$8$ の整数の組を調べると、

**(i)**

$\alpha-3=1,\ \beta-3=8$ のとき

$$ (\alpha,\beta)=(4,11) $$

**(ii)**

$\alpha-3=2,\ \beta-3=4$ のとき

$$ (\alpha,\beta)=(5,7) $$

**(iii)**

$\alpha-3=4,\ \beta-3=2$ のとき

$$ (\alpha,\beta)=(7,5) $$

**(iv)**

$\alpha-3=8,\ \beta-3=1$ のとき

$$ (\alpha,\beta)=(11,4) $$

である。負の約数の組では、$\alpha,\beta$ の少なくとも一方が正でなくなるので不適である。

根の順序を除けば、

$$ {\alpha,\beta}={4,11},\ {5,7} $$

の2通りである。

このとき

$$ f(x)=a(x-\alpha)(x-\beta) $$

であり、$x$ の係数が $-2$ だから

$$ -a(\alpha+\beta)=-2 $$

すなわち

$$ a=\frac{2}{\alpha+\beta} $$

となる。

**(i)**

${\alpha,\beta}={4,11}$ のとき

$$ a=\frac{2}{15} $$

より、

$$ f(x)=\frac{2}{15}(x-4)(x-11) $$

**(ii)**

${\alpha,\beta}={5,7}$ のとき

$$ a=\frac{2}{12}=\frac16 $$

より、

$$ f(x)=\frac16(x-5)(x-7) $$

である。

解説

この問題の核心は、与えられた2条件を係数 $a,b,c$ の式に直し、そこからまず $b$ を確定することである。ここで $b=-2$ がただちに出るため、以後は $a+c=6$ という簡潔な形になる。

その上で、解と係数の関係を用いると $\alpha,\beta$ の間の条件が

$$ (\alpha-3)(\beta-3)=8 $$

まで整理できる。この形にすると、整数条件の処理が一気に容易になる。整数問題では、このように積の形へ変形するのが有効である。

答え

**(1)**

$f(x)$ の1次の項の係数は

$$ -2 $$

である。

**(2)**

$\alpha,\beta$ の満たす関係式は

$$ \alpha\beta=3(\alpha+\beta)-1 $$

すなわち

$$ (\alpha-3)(\beta-3)=8 $$

である。

**(3)**

求める $f(x)$ は

$$ f(x)=\frac{2}{15}(x-4)(x-11), \qquad f(x)=\frac16(x-5)(x-7) $$

の2つである。