基礎問題集
数学2 積分法「定積分」の問題40 解説
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解説
方針・初手
$\displaystyle \int_0^1 f(t),dt$ は $x$ によらない定数である。したがって、これをまず定数 $C$ とおいて式を整理し、その後で $0$ から $1$ まで積分して $C$ を決定すればよい。
解法1
$$ C=\int_0^1 f(t),dt $$
とおくと、与えられた式は
$$ f(x)=x^2+4x-C $$
となる。
ここで両辺を $x$ について $0$ から $1$ まで積分すると、
$$ \int_0^1 f(x),dx=\int_0^1 (x^2+4x-C),dx $$
であるから、
$$ C=\left[\frac{x^3}{3}+2x^2-Cx\right]_0^1 =\frac{1}{3}+2-C =\frac{7}{3}-C $$
を得る。
したがって、
$$ 2C=\frac{7}{3} $$
より、
$$ C=\frac{7}{6} $$
である。
よって
$$ f(x)=x^2+4x-\frac{7}{6} $$
となる。
解説
この問題の要点は、$\displaystyle \int_0^1 f(t),dt$ が $x$ を含まない定数だと見抜くことである。そうすると、関数方程式が実質的に定数決定の問題に変わる。
答え
$$ f(x)=x^2+4x-\frac{7}{6} $$