解説

方針・初手

絶対値を外すには，$x^2-3$ の符号を調べればよい。

$a>0$ であり，$x^2-3=0$ となるのは $x=\sqrt{3}$ であるから，積分区間 $[0,a]$ が $\sqrt{3}$ をまたぐかどうかで場合分けする。

解法1

$0\leqq x<\sqrt{3}$ では $x^2-3<0$ であるから，

$$ |x^2-3|=3-x^2 $$

である。

また，$x>\sqrt{3}$ では $x^2-3>0$ であるから，

$$ |x^2-3|=x^2-3 $$

である。

したがって，$a$ の値によって次のように場合分けする。

**(i)**

$0<a\leqq \sqrt{3}$ のとき

このとき区間 $[0,a]$ では常に $x^2-3\leqq 0$ であるから，

$$ \int_0^a |x^2-3|,dx=\int_0^a (3-x^2),dx $$

である。よって，

$$ \int_0^a (3-x^2),dx =\left[3x-\frac{x^3}{3}\right]_0^a =3a-\frac{a^3}{3} $$

となる。

**(ii)**

$a\geqq \sqrt{3}$ のとき

このとき $x=\sqrt{3}$ で符号が変わるので，そこで積分を分ける。

$$ \int_0^a |x^2-3|,dx =\int_0^{\sqrt{3}} (3-x^2),dx+\int_{\sqrt{3}}^a (x^2-3),dx $$

まず，

$$ \int_0^{\sqrt{3}} (3-x^2),dx =\left[3x-\frac{x^3}{3}\right]_0^{\sqrt{3}} =3\sqrt{3}-\frac{(\sqrt{3})^3}{3} =3\sqrt{3}-\sqrt{3} =2\sqrt{3} $$

である。

次に，

$$ \int_{\sqrt{3}}^a (x^2-3),dx =\left[\frac{x^3}{3}-3x\right]_{\sqrt{3}}^a =\left(\frac{a^3}{3}-3a\right)-\left(\frac{(\sqrt{3})^3}{3}-3\sqrt{3}\right) $$

ここで，

$$ \frac{(\sqrt{3})^3}{3}-3\sqrt{3} =\frac{3\sqrt{3}}{3}-3\sqrt{3} =\sqrt{3}-3\sqrt{3} =-2\sqrt{3} $$

であるから，

$$ \int_{\sqrt{3}}^a (x^2-3),dx =\frac{a^3}{3}-3a+2\sqrt{3} $$

となる。

以上より，

$$ \int_0^a |x^2-3|,dx =2\sqrt{3}+\left(\frac{a^3}{3}-3a+2\sqrt{3}\right) =\frac{a^3}{3}-3a+4\sqrt{3} $$

である。

解説

絶対値を含む積分では，中身が $0$ になる点を求め，そこで区間を分けるのが基本である。

この問題では $x^2-3=0$ から $x=\pm\sqrt{3}$ だが，積分区間が $[0,a]$ なので関係するのは $x=\sqrt{3}$ のみである。したがって，$a\leqq \sqrt{3}$ か $a\geqq \sqrt{3}$ かの2通りに分ければ十分である。

答え

$$ \int_0^a |x^2-3|,dx \begin{cases} \displaystyle 3a-\dfrac{a^3}{3} & (0<a\leqq \sqrt{3}),\\[6pt] \dfrac{a^3}{3}-3a+4\sqrt{3} & (a\geqq \sqrt{3}) \end{cases} $$