解説

方針・初手

被積分関数を

$$ 2x^2-ax=x(2x-a) $$

と因数分解すると，符号が変わる点は $x=0,\ \dfrac{a}{2}$ であることが分かる。 したがって $S(a)$ を求めるには，$\dfrac{a}{2}$ が区間 $[-1,2]$ のどこにあるかで場合分けし，絶対値を外して積分すればよい。

解法1

（1） まず不定積分を求める。

$$ \int (2x^2-ax),dx =\int 2x^2,dx-\int ax,dx =\frac{2}{3}x^3-\frac{a}{2}x^2+C $$

よって，

$$ \int (2x^2-ax),dx=\frac{2}{3}x^3-\frac{a}{2}x^2+C $$

である。

**(2)**

以後，

$$ f(x)=2x^2-ax=x(2x-a),\qquad F(x)=\frac{2}{3}x^3-\frac{a}{2}x^2 $$

とおく。

まず全体の積分は

$$ \int_{-1}^{2}(2x^2-ax),dx =F(2)-F(-1) =\left(\frac{16}{3}-2a\right)-\left(-\frac{2}{3}-\frac{a}{2}\right) =6-\frac{3a}{2} $$

である。

ここで $f(x)=x(2x-a)$ の符号を調べる。

**(i)**

$a\le -2$ のとき

このとき $\dfrac{a}{2}\le -1$ であるから，区間 $[-1,0]$ で $f(x)\le 0$，区間 $[0,2]$ で $f(x)\ge 0$ となる。 したがって，

$$ S(a)=-\int_{-1}^{0}f(x),dx+\int_{0}^{2}f(x),dx $$

である。

それぞれ計算すると，

$$ \int_{-1}^{0}f(x),dx =F(0)-F(-1) =\frac{2}{3}+\frac{a}{2} $$

$$ \int_{0}^{2}f(x),dx =F(2)-F(0) =\frac{16}{3}-2a $$

より，

$$ S(a) =-\left(\frac{2}{3}+\frac{a}{2}\right)+\left(\frac{16}{3}-2a\right) =\frac{14}{3}-\frac{5}{2}a $$

となる。

**(ii)**

$-2\le a\le 0$ のとき

このとき $\dfrac{a}{2}\in[-1,0]$ であり，$f(x)$ は区間 $\left[\dfrac{a}{2},0\right]$ で負，それ以外で正である。 よって

$$ S(a)=\int_{-1}^{2}f(x),dx-2\int_{a/2}^{0}f(x),dx $$

と書ける。

ここで，

$$ \int_{a/2}^{0}f(x),dx =F(0)-F\left(\frac{a}{2}\right) =-F\left(\frac{a}{2}\right) $$

であり，

$$ F\left(\frac{a}{2}\right) =\frac{2}{3}\left(\frac{a}{2}\right)^3-\frac{a}{2}\left(\frac{a}{2}\right)^2 =\frac{a^3}{12}-\frac{a^3}{8} =-\frac{a^3}{24} $$

だから，

$$ \int_{a/2}^{0}f(x),dx=\frac{a^3}{24} $$

となる。したがって，

$$ S(a) =\left(6-\frac{3a}{2}\right)-2\cdot\frac{a^3}{24} =6-\frac{3a}{2}-\frac{a^3}{12} $$

である。

**(iii)**

$0\le a\le 4$ のとき

このとき $\dfrac{a}{2}\in[0,2]$ であり，$f(x)$ は区間 $\left[0,\dfrac{a}{2}\right]$ で負，それ以外で正である。 したがって，

$$ S(a)=\int_{-1}^{2}f(x),dx-2\int_{0}^{a/2}f(x),dx $$

となる。

ここで，

$$ \int_{0}^{a/2}f(x),dx =F\left(\frac{a}{2}\right)-F(0) =-\frac{a^3}{24} $$

より，

$$ S(a) =\left(6-\frac{3a}{2}\right)-2\left(-\frac{a^3}{24}\right) =6-\frac{3a}{2}+\frac{a^3}{12} $$

である。

**(iv)**

$a\ge 4$ のとき

このとき $\dfrac{a}{2}\ge 2$ であるから，区間 $[-1,0]$ で $f(x)\ge 0$，区間 $[0,2]$ で $f(x)\le 0$ となる。 したがって，

$$ S(a)=\int_{-1}^{0}f(x),dx-\int_{0}^{2}f(x),dx $$

であり，

$$ S(a) =\left(\frac{2}{3}+\frac{a}{2}\right)-\left(\frac{16}{3}-2a\right) =-\frac{14}{3}+\frac{5}{2}a $$

となる。

以上より，

$$ S(a)= \begin{cases} \displaystyle \frac{14}{3}-\frac{5}{2}a & (a\le -2)\\[1.2ex] \displaystyle 6-\frac{3}{2}a-\frac{1}{12}a^3 & (-2\le a\le 0)\\[1.2ex] \displaystyle 6-\frac{3}{2}a+\frac{1}{12}a^3 & (0\le a\le 4)\\[1.2ex] \displaystyle -\frac{14}{3}+\frac{5}{2}a & (a\ge 4) \end{cases} $$

である。

（3） 上の結果から最小値を調べる。

**(i)**

$a\le -2$ では

$$ S(a)=\frac{14}{3}-\frac{5}{2}a $$

であり，$a$ が大きくなるほど減少するので，この範囲での最小値は $a=-2$ のとき

$$ S(-2)=\frac{29}{3} $$

である。

**(ii)**

$-2\le a\le 0$ では

$$ S(a)=6-\frac{3}{2}a-\frac{1}{12}a^3 $$

だから，

$$ S'(a)=-\frac{3}{2}-\frac{a^2}{4}<0 $$

となり，この範囲では単調減少である。よって最小値は $a=0$ のとき

$$ S(0)=6 $$

である。

**(iii)**

$0\le a\le 4$ では

$$ S(a)=6-\frac{3}{2}a+\frac{1}{12}a^3 $$

より，

$$ S'(a)=-\frac{3}{2}+\frac{a^2}{4} =\frac{a^2-6}{4} $$

となる。したがって

$$ S'(a)=0 \iff a=\sqrt{6} $$

であり，$0\le a\le 4$ で $a=\sqrt6$ のとき極小となる。

その値は

$$ S(\sqrt6) =6-\frac{3}{2}\sqrt6+\frac{1}{12}(\sqrt6)^3 =6-\frac{3}{2}\sqrt6+\frac{1}{2}\sqrt6 =6-\sqrt6 $$

である。

**(iv)**

$a\ge 4$ では

$$ S(a)=-\frac{14}{3}+\frac{5}{2}a $$

であり，$a$ が大きくなるほど増加するので，この範囲での最小値は $a=4$ のとき

$$ S(4)=\frac{16}{3} $$

である。

以上を比較すると，

$$ 6-\sqrt6<\frac{16}{3}<6<\frac{29}{3} $$

であるから，$S(a)$ の最小値は

$$ 6-\sqrt6 $$

であり，そのとき

$$ a=\sqrt6 $$

である。

解説

絶対値付き積分では，被積分関数がどこで符号を変えるかを最初に調べるのが基本である。 この問題では

$$ 2x^2-ax=x(2x-a) $$

と因数分解できるので，符号変化の候補は $x=0,\ \dfrac{a}{2}$ に限られる。したがって，$\dfrac{a}{2}$ が区間 $[-1,2]$ の外にあるか，中にあるかで場合分けすればよい。

また，$S(a)$ を最後に最小化するためには，場合分けして得られた式をそれぞれの範囲で調べる必要がある。特に $0\le a\le 4$ の範囲で三次式になり，ここで極小値 $6-\sqrt6$ が現れる。

答え

**(1)**

$$ \int (2x^2-ax),dx=\frac{2}{3}x^3-\frac{a}{2}x^2+C $$

**(2)**

$$ S(a)= \begin{cases} \displaystyle \frac{14}{3}-\frac{5}{2}a & (a\le -2)\\[1.2ex] \displaystyle 6-\frac{3}{2}a-\frac{1}{12}a^3 & (-2\le a\le 0)\\[1.2ex] \displaystyle 6-\frac{3}{2}a+\frac{1}{12}a^3 & (0\le a\le 4)\\[1.2ex] \displaystyle -\frac{14}{3}+\frac{5}{2}a & (a\ge 4) \end{cases} $$

**(3)**

$S(a)$ の最小値は

$$ 6-\sqrt6 $$

であり，そのときの $a$ は

$$ a=\sqrt6 $$

である。