解説

方針・初手

絶対値の中身 $x^3-a^3$ の符号が変わる点は $x=a$ である。したがって $0\le a\le1$ では $x=a$ で積分を分け，$a\ge1$ では区間 $[0,1]$ 全体で $x^3-a^3\le0$ を用いればよい。まず $f(a)$ を場合分けで求め，その後に微分して増減を調べる。

解法1

**(1)**

$f(a)$ を求める。

**(i)**

$0\le a\le1$ のとき

$0\le x<a$ では $x^3-a^3<0$，$a<x\le1$ では $x^3-a^3>0$ であるから，

$$ f(a)=\int_0^a (a^3-x^3),dx+\int_a^1 (x^3-a^3),dx $$

となる。

前半は

$$ \int_0^a (a^3-x^3),dx = a^3\cdot a-\frac{a^4}{4} =\frac{3}{4}a^4 $$

である。

後半は

$$ \begin{aligned} \int_a^1 (x^3-a^3),dx &=\left[\frac{x^4}{4}-a^3x\right]_a^1 \\ &=\left(\frac14-a^3\right)-\left(\frac{a^4}{4}-a^4\right) \\ &=\frac14-a^3+\frac34a^4 \end{aligned} $$

である。したがって

$$ f(a)=\frac14-a^3+\frac32a^4 \qquad (0\le a\le1) $$

となる。

**(ii)**

$a\ge1$ のとき

$0\le x\le1\le a$ より $x^3-a^3\le0$ であるから，

$$ f(a)=\int_0^1 (a^3-x^3),dx =a^3-\frac14 \qquad (a\ge1) $$

となる。

以上より，

$$ \begin{cases} f(a)=\displaystyle \frac14-a^3+\frac32a^4 & (0\le a\le1),\\[1mm] f(a)=\displaystyle a^3-\frac14 & (a\ge1) \end{cases} $$

である。

（2） 増減と極値を調べる。

上の式を微分すると，

$$ \begin{cases} f'(a)=-3a^2+6a^3=3a^2(2a-1) & (0\le a\le1),\\[1mm] f'(a)=3a^2 & (a\ge1) \end{cases} $$

である。

したがって，

• $0<a<\dfrac12$ では $f'(a)<0$
• $a=\dfrac12$ では $f'(a)=0$
• $\dfrac12<a\le1$ では $f'(a)>0$
• $a>1$ では $f'(a)>0$

となる。よって $f(a)$ は $0\le a\le \dfrac12$ で減少し，$a\ge \dfrac12$ で増加する。

増減表は次のとおりである。

| 区間 | $0\le a<\dfrac12$ | $a=\dfrac12$ | $\dfrac12<a$ | | ------- | ----------------: | -----------: | -----------: | | $f'(a)$ | $-$ | $0$ | $+$ | | $f(a)$ | 減少 | 最小 | 増加 |

したがって最小値は $a=\dfrac12$ のときにとる。その値は

$$ f\left(\frac12\right) =\frac14-\frac18+\frac32\cdot\frac1{16} =\frac{7}{32} $$

である。

一方，$a\ge1$ では

$$ f(a)=a^3-\frac14 $$

であり，$a\to\infty$ で $f(a)\to\infty$ となるから，最大値は存在しない。

解説

この問題の要点は，絶対値を外すために $x^3-a^3$ の符号を正確に判定することである。$x^3$ は単調増加なので，符号が変わる可能性がある点は $x=a$ ただ1つである。

したがって $0\le a\le1$ では $x=a$ で積分を分け，$a\ge1$ では区間全体で負になるのでそのまま絶対値を外せる。あとは場合分けして得た式を微分すれば，増減と極値は機械的に求まる。

特に，最小値は微分係数の符号変化 $-\to+$ から判断し，最大値については $a\ge1$ で $f(a)=a^3-\dfrac14$ が際限なく大きくなることを確認するのが重要である。

答え

**(1)**

$$ \begin{cases} f(a)=\displaystyle \frac14-a^3+\frac32a^4 & (0\le a\le1),\\[1mm] f(a)=\displaystyle a^3-\frac14 & (a\ge1) \end{cases} $$

**(2)**

$f(a)$ は $0\le a\le \dfrac12$ で減少し，$a\ge \dfrac12$ で増加する。

したがって，

最小値は $\displaystyle \frac{7}{32}$

そのときの $a$ の値は $\displaystyle \frac12$

最大値は存在しない