解説

方針・初手

被積分関数は

$$ |x^2-ax|=|x(x-a)| $$

である。積分区間は $0\le x\le 2$ だから，符号は $x-a$ の符号で決まる。したがって，$0<a\le 2$ と $a\ge 2$ に分けて絶対値を外せばよい。

解法1

まず

$$ x^2-ax=x(x-a) $$

であるから，$x^2-ax=0$ となるのは $x=0,\ a$ である。

したがって

$$ y=|x^2-ax| = \begin{cases} x^2-ax & (x\le 0 \text{ または } x\ge a),\\ -x^2+ax & (0\le x\le a) \end{cases} $$

となる。つまり，放物線 $y=x^2-ax$ のうち $0\le x\le a$ で $x$ 軸の下にある部分を上側に折り返したグラフである。

（1） グラフの概形

• $0<a<2$ のとき，区間 $[0,2]$ では $0\le x\le a$ で $y=-x^2+ax$，$a\le x\le 2$ で $y=x^2-ax$ となる。
• $a\ge 2$ のとき，区間 $[0,2]$ では常に $x^2-ax\le 0$ なので，$y=-x^2+ax$ となる。

（2） $S(a)$ を求める

**(i)**

$0<a\le 2$ のとき

このとき

$$ S(a)=\int_0^a (-x^2+ax)\,dx+\int_a^2 (x^2-ax)\,dx $$

である。

第1項は

$$ \int_0^a (-x^2+ax)\,dx =\left[-\frac{x^3}{3}+\frac{a}{2}x^2\right]_0^a =\frac{a^3}{6} $$

であり，第2項は

$$ \int_a^2 (x^2-ax)\,dx =\left[\frac{x^3}{3}-\frac{a}{2}x^2\right]_a^2 =\frac83-2a+\frac{a^3}{6} $$

である。よって

$$ S(a)=\frac{a^3}{3}-2a+\frac83 \qquad (0<a\le 2) $$

となる。

**(ii)**

$a\ge 2$ のとき

このとき $0\le x\le 2$ で常に $x^2-ax\le 0$ だから

$$ S(a)=\int_0^2 (-x^2+ax)\,dx =\left[-\frac{x^3}{3}+\frac{a}{2}x^2\right]_0^2 =2a-\frac83 \qquad (a\ge 2) $$

となる。

したがって

$$ S(a)= \begin{cases} \dfrac{a^3}{3}-2a+\dfrac83 & (0<a\le 2),\\[2mm] 2a-\dfrac83 & (a\ge 2) \end{cases} $$

である。

（3） $S(a)$ の最小値

$0<a\le 2$ では

$$ S'(a)=a^2-2 $$

だから，極値を与えるのは

$$ a=\sqrt2 $$

である。また

$$ S''(a)=2a>0 $$

なので，$a=\sqrt2$ で最小となる。その値は

$$ S(\sqrt2)=\frac{(\sqrt2)^3}{3}-2\sqrt2+\frac83=\frac{8-4\sqrt2}{3} $$

である。

一方，$a\ge 2$ では

$$ S(a)=2a-\frac83 $$

は増加関数だから，この範囲での最小値は $a=2$ のとき

$$ S(2)=\frac43 $$

である。

ここで

$$ \frac{8-4\sqrt2}{3}<\frac43 $$

だから，全体の最小値は

$$ \frac{8-4\sqrt2}{3} $$

であり，そのとき

$$ a=\sqrt2 $$

である。

解説

絶対値付き積分では，中身の符号が変わる点を最初に調べるのが基本である。本問では

$$ x^2-ax=x(x-a) $$

と因数分解でき，しかも積分区間では $x\ge 0$ なので，実質的には $x-a$ の符号だけを見ればよい。

答え

**(1)**

$$ y= \begin{cases} x^2-ax & (x\le 0 \text{ または } x\ge a),\\ -x^2+ax & (0\le x\le a) \end{cases} $$

であり，放物線 $y=x^2-ax$ の $x$ 軸より下の部分を折り返した概形である。

**(2)**

$$ S(a)= \begin{cases} \dfrac{a^3}{3}-2a+\dfrac83 & (0<a\le 2),\\[2mm] 2a-\dfrac83 & (a\ge 2) \end{cases} $$

**(3)**

$$ S(a)\text{ の最小値 }=\frac{8-4\sqrt2}{3} $$

そのとき

$$ a=\sqrt2 $$

である。