解説

方針・初手

絶対値を外すには，被積分関数の符号が変わる点を調べればよい。

まず

$$ x^2-\frac12x-\frac12=\left(x-1\right)\left(x+\frac12\right) $$

と因数分解できるので，符号が変わるのは $x=-\dfrac12,\ 1$ である。したがって，積分区間 $[-1,1]$ を $x=-\dfrac12$ で分けて絶対値を外す。

解法1

$f(x)=x^2-\dfrac12x-\dfrac12$ とおく。

$$ f(x)=\left(x-1\right)\left(x+\frac12\right) $$

より，区間ごとの符号は次のようになる。

**(i)**

$-1\leqq x\leqq -\dfrac12$ のとき

$x-1<0,\ x+\dfrac12\leqq 0$ であるから，$f(x)\geqq 0$ である。したがって

$$ |f(x)|=f(x)=x^2-\frac12x-\frac12 $$

となる。

**(ii)**

$-\dfrac12\leqq x\leqq 1$ のとき

$x-1\leqq 0,\ x+\dfrac12\geqq 0$ であるから，$f(x)\leqq 0$ である。したがって

$$ |f(x)|=-f(x)=-x^2+\frac12x+\frac12 $$

となる。

よって求める積分は

$$ \int_{-1}^{1}\left|x^2-\frac12x-\frac12\right|dx =\int_{-1}^{-\frac12}\left(x^2-\frac12x-\frac12\right)dx +\int_{-\frac12}^{1}\left(-x^2+\frac12x+\frac12\right)dx $$

である。

第1項は

$$ \int_{-1}^{-\frac12}\left(x^2-\frac12x-\frac12\right)dx =\left[\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{4}-\frac{x}{2}\right]_{-1}^{-\frac12} =\frac{11}{48} $$

であり，第2項は

$$ \int_{-\frac12}^{1}\left(-x^2+\frac12x+\frac12\right)dx =\left[-\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{4}+\frac{x}{2}\right]_{-\frac12}^{1} =\frac{9}{16} $$

である。

したがって

$$ \int_{-1}^{1}\left|x^2-\frac12x-\frac12\right|dx =\frac{11}{48}+\frac{9}{16} =\frac{11}{48}+\frac{27}{48} =\frac{19}{24} $$

である。

解説

絶対値つきの定積分では，まず中身が $0$ になる点を求め，その点で区間を分けるのが基本である。

この問題では，被積分関数が因数分解できるため，符号変化の位置がすぐに分かる。あとは各区間で絶対値を外して通常の定積分を計算すればよい。

答え

$$ \int_{-1}^{1}\left|x^2-\frac12x-\frac12\right|dx=\frac{19}{24} $$