解説

方針・初手

区間 $[k,k+1]$ 上の積分をそのまま計算すると、$k$ の多項式になる。これがすべての自然数 $k$ で $k^3$ に一致するので、多項式の係数を比較すれば $a,b,c$ が定まる。

その後、求まった $a,b,c$ を用いて原始関数を作れば、

$$ \int_k^{k+1}(x^3+ax^2+bx+c),dx $$

が階差の形になり、和 $1^3+2^3+\cdots+n^3$ は望ましく消去される。

解法1

（1） 定数 $a,b,c$ を求める。

与えられた条件は

$$ \int_k^{k+1}(x^3+ax^2+bx+c),dx=k^3 $$

がすべての自然数 $k$ について成り立つということである。

各項を別々に積分すると、

$$ \int_k^{k+1}x^3,dx=\frac{(k+1)^4-k^4}{4} = k^3+\frac{3}{2}k^2+k+\frac14 $$

$$ \int_k^{k+1}x^2,dx=\frac{(k+1)^3-k^3}{3} = k^2+k+\frac13 $$

$$ \int_k^{k+1}x,dx=\frac{(k+1)^2-k^2}{2} = k+\frac12 $$

$$ \int_k^{k+1}1,dx=1 $$

したがって、

$$ \int_k^{k+1}(x^3+ax^2+bx+c),dx = k^3+\left(\frac32+a\right)k^2+(1+a+b)k+\left(\frac14+\frac{a}{3}+\frac{b}{2}+c\right) $$

となる。これがすべての自然数 $k$ で $k^3$ に等しいので、多項式の係数を比較して

$$ \frac32+a=0,\qquad 1+a+b=0,\qquad \frac14+\frac{a}{3}+\frac{b}{2}+c=0 $$

を得る。

これを順に解くと、

$$ a=-\frac32 $$

$$ b=\frac12 $$

さらに

$$ \frac14+\frac{-3/2}{3}+\frac{1/2}{2}+c =\frac14-\frac12+\frac14+c=c=0 $$

より

$$ c=0 $$

である。

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（2） （1） を用いて $1^3+2^3+\cdots+n^3$ を求める。

（1） より

$$ \int_k^{k+1}\left(x^3-\frac32x^2+\frac12x\right),dx=k^3 $$

である。

ここで

$$ F(x)=\int \left(x^3-\frac32x^2+\frac12x\right),dx =\frac{x^4}{4}-\frac{x^3}{2}+\frac{x^2}{4} $$

とおくと、

$$ F(x)=\frac{x^2(x-1)^2}{4} $$

とも書ける。

したがって

$$ k^3=\int_k^{k+1}\left(x^3-\frac32x^2+\frac12x\right),dx =F(k+1)-F(k) $$

であるから、$k=1,2,\dots,n$ について和をとると

$$ \sum_{k=1}^n k^3 =\sum_{k=1}^n{F(k+1)-F(k)} =F(n+1)-F(1) $$

となる。

ここで

$$ F(1)=\frac{1^2(1-1)^2}{4}=0 $$

なので、

$$ \sum_{k=1}^n k^3=F(n+1) =\frac{(n+1)^2{(n+1)-1}^2}{4} =\frac{n^2(n+1)^2}{4} $$

よって

$$ 1^3+2^3+\cdots+n^3=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 $$

である。

解説

この問題の要点は、区間 $[k,k+1]$ の積分が $k$ の多項式になることを利用する点にある。まず （1） では、その多項式が $k^3$ に一致するように係数比較を行えばよい。

（2） では、（1） で得た式をそのまま和に持ち込むのが本質である。原始関数 $F$ を用いると $k^3=F(k+1)-F(k)$ となり、和をとったときに中間項が消える。これが三乗和公式を導く典型的な方法である。

答え

**(1)**

$$ a=-\frac32,\qquad b=\frac12,\qquad c=0 $$

**(2)**

$$ 1^3+2^3+\cdots+n^3=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 $$