解説

方針・初手

絶対値付きの積分では、まず中身の符号がどこで変わるかを調べるのが基本である。

そこで

$$ x^3-x^2-4x+4 $$

を因数分解して、区間 $[0,2]$ における符号を判定する。

解法1

被積分関数の中身を因数分解すると、

$$ x^3-x^2-4x+4 = x^2(x-1)-4(x-1) = (x-1)(x^2-4) = (x-1)(x-2)(x+2) $$

となる。

ここで、区間 $0 \leqq x \leqq 2$ では常に $x+2>0$ であるから、符号は $(x-1)(x-2)$ によって決まる。

**(i)**

$0 \leqq x \leqq 1$ のとき

$x-1<0,\ x-2<0$ なので、

$$ (x-1)(x-2)(x+2)>0 $$

である。したがって、

$$ |x^3-x^2-4x+4|=x^3-x^2-4x+4 $$

となる。

**(ii)**

$1 \leqq x \leqq 2$ のとき

$x-1\geqq 0,\ x-2\leqq 0$ なので、

$$ (x-1)(x-2)(x+2)\leqq 0 $$

である。したがって、

$$ |x^3-x^2-4x+4|=-(x^3-x^2-4x+4) $$

となる。

よって、求める積分は

$$ \int_0^2 |x^3-x^2-4x+4|\,dx =\int_0^1 (x^3-x^2-4x+4)\,dx-\int_1^2 (x^3-x^2-4x+4)\,dx $$

である。

ここで

$$ \int (x^3-x^2-4x+4)\,dx=\frac{x^4}{4}-\frac{x^3}{3}-2x^2+4x $$

だから，

$$ \int_0^1 (x^3-x^2-4x+4)\,dx =\left[\frac{x^4}{4}-\frac{x^3}{3}-2x^2+4x\right]_0^1 =\frac14-\frac13-2+4 =\frac{23}{12} $$

である。

また，

$$ \int_1^2 (x^3-x^2-4x+4)\,dx =\left[\frac{x^4}{4}-\frac{x^3}{3}-2x^2+4x\right]_1^2 =\frac43-\frac{23}{12} =-\frac{7}{12} $$

となる。したがって

$$ \int_0^2 |x^3-x^2-4x+4|\,dx =\frac{23}{12}-\left(-\frac{7}{12}\right) =\frac{30}{12} =\frac52 $$

解説

絶対値付き定積分では、中身の式の零点を調べて区間ごとに符号を判定するのが基本方針である。

この問題では因数分解

$$ x^3-x^2-4x+4=(x-1)(x-2)(x+2) $$

がすぐできるため、符号変化は $x=1$ で起こることが分かる。$x=2$ も零点ではあるが積分区間の端点なので、実質的な場合分けは $[0,1]$ と $[1,2]$ の2つで十分である。

答え

$$ \int_0^2 |x^3-x^2-4x+4|,dx=\frac52 $$