基礎問題集
数学2 積分法「定積分」の問題48 解説
数学2の積分法「定積分」にある問題48の基礎問題と解説ページです。問題と保存済み解説を公開し、ログイン後はAI質問と学習履歴も利用できます。
MathGrAIl の基礎問題集にある公開問題ページです。ログイン前でも問題と保存済み解説を確認でき、ログイン後はAI質問と学習履歴の保存を利用できます。
- 基礎問題の問題画像と保存済み解説を公開
- ログイン後にAI質問で復習
- ログイン後に学習履歴を保存
解説
方針・初手
被積分関数は
$$ |x^2-ax|=|x(x-a)|=x|x-a| $$
である。
区間 $[0,1]$ では常に $x\geqq 0$ であるから、符号は $x-a$ の符号だけを見ればよい。したがって、$a$ の位置によって
**(i)**
$a\leqq 0$
**(ii)**
$0\leqq a\leqq 1$
**(iii)**
$a\geqq 1$
の3つに場合分けして積分を計算する。
解法1
$I(a)=\displaystyle\int_0^1 |x^2-ax|,dx$ とおく。
**(i)**
$a\leqq 0$ のとき
このとき $0\leqq x\leqq 1$ に対して $x-a\geqq 0$ であるから、
$$ |x^2-ax|=x^2-ax $$
となる。よって
$$ I(a)=\int_0^1 (x^2-ax),dx =\left[\frac{x^3}{3}-\frac{a}{2}x^2\right]_0^1 =\frac13-\frac{a}{2} $$
である。
これが $\dfrac13$ に等しいためには
$$ \frac13-\frac{a}{2}=\frac13 $$
すなわち
$$ a=0 $$
である。
**(ii)**
$0\leqq a\leqq 1$ のとき
このとき $x=a$ で符号が変わるので、積分を $x=a$ で分ける。
$$ I(a)=\int_0^a (ax-x^2),dx+\int_a^1 (x^2-ax),dx $$
まず
$$ \int_0^a (ax-x^2),dx =\left[\frac{a}{2}x^2-\frac{x^3}{3}\right]_0^a =\frac{a^3}{2}-\frac{a^3}{3} =\frac{a^3}{6} $$
である。
また
$$ \int_a^1 (x^2-ax),dx =\left[\frac{x^3}{3}-\frac{a}{2}x^2\right]_a^1 =\left(\frac13-\frac{a}{2}\right)-\left(\frac{a^3}{3}-\frac{a^3}{2}\right) =\frac13-\frac{a}{2}+\frac{a^3}{6} $$
であるから、
$$ I(a)=\frac{a^3}{6}+\left(\frac13-\frac{a}{2}+\frac{a^3}{6}\right) =\frac13-\frac{a}{2}+\frac{a^3}{3} $$
となる。
これが $\dfrac13$ に等しいためには
$$ \frac13-\frac{a}{2}+\frac{a^3}{3}=\frac13 $$
すなわち
$$ -\frac{a}{2}+\frac{a^3}{3}=0 $$
であり、
$$ 6\left(-\frac{a}{2}+\frac{a^3}{3}\right)=0 $$
より
$$ a(2a^2-3)=0 $$
となる。したがって
$$ a=0,\ \pm\sqrt{\frac32} $$
を得るが、この場合は $0\leqq a\leqq 1$ であるから適するのは
$$ a=0 $$
のみである。
**(iii)**
$a\geqq 1$ のとき
このとき $0\leqq x\leqq 1$ に対して $x-a\leqq 0$ であるから、
$$ |x^2-ax|=ax-x^2 $$
となる。よって
$$ I(a)=\int_0^1 (ax-x^2),dx =\left[\frac{a}{2}x^2-\frac{x^3}{3}\right]_0^1 =\frac{a}{2}-\frac13 $$
である。
これが $\dfrac13$ に等しいためには
$$ \frac{a}{2}-\frac13=\frac13 $$
すなわち
$$ \frac{a}{2}=\frac23 $$
より
$$ a=\frac43 $$
である。
以上より、条件を満たす $a$ は
$$ a=0,\ \frac43 $$
である。
解説
この問題の要点は、$|x^2-ax|$ をそのまま扱うのではなく、
$$ |x^2-ax|=x|x-a| $$
と見て、区間 $[0,1]$ では $x\geqq 0$ であることを使う点にある。すると絶対値の中の符号変化は $x-a$ だけを見ればよく、結局は $a$ が区間 $[0,1]$ の外にあるか中にあるかで場合分けすればよい。
特に $0\leqq a\leqq 1$ の場合には、符号が変わる点 $x=a$ で積分区間を分けることが重要である。
答え
$$ a=0,\ \frac43 $$