解説

方針・初手

積分変数は $t$ であり、積分区間も $[-1,1]$ で固定されているので、

$$ \int_{-1}^{1}(x-t)f(t),dt $$

は $x$ の式として見ると一次式になる。したがって、$f(x)$ は二次式の形に落ちると考えられる。

そこで

$$ A=\int_{-1}^{1}f(t),dt,\qquad B=\int_{-1}^{1}t f(t),dt $$

とおいて整理する。

解法1

与えられた等式は

$$ f(x)=x^2+2+\int_{-1}^{1}(x-t)f(t),dt $$

である。

ここで

$$ A=\int_{-1}^{1}f(t),dt,\qquad B=\int_{-1}^{1}t f(t),dt $$

とおくと、

$$ \int_{-1}^{1}(x-t)f(t),dt = x\int_{-1}^{1}f(t),dt-\int_{-1}^{1}t f(t),dt =Ax-B $$

となる。よって

$$ f(x)=x^2+2+Ax-B $$

を得る。

次に、この式を用いて $A,B$ を求める。

まず両辺を $x$ について $-1$ から $1$ まで積分すると、

$$ A=\int_{-1}^{1}\left(x^2+2+Ax-B\right),dx $$

であるから、

$$ A=\int_{-1}^{1}x^2,dx+\int_{-1}^{1}2,dx+A\int_{-1}^{1}x,dx-B\int_{-1}^{1}1,dx $$

となる。各積分を計算すると

$$ \int_{-1}^{1}x^2,dx=\frac{2}{3},\qquad \int_{-1}^{1}2,dx=4,\qquad \int_{-1}^{1}x,dx=0,\qquad \int_{-1}^{1}1,dx=2 $$

より、

$$ A=\frac{2}{3}+4-2B=\frac{14}{3}-2B $$

を得る。

次に、両辺に $x$ を掛けてから $-1$ から $1$ まで積分すると、

$$ B=\int_{-1}^{1}x f(x),dx =\int_{-1}^{1}x\left(x^2+2+Ax-B\right),dx $$

である。したがって

$$ B=\int_{-1}^{1}x^3,dx+\int_{-1}^{1}2x,dx+A\int_{-1}^{1}x^2,dx-B\int_{-1}^{1}x,dx $$

となる。奇関数の積分は $0$ なので、

$$ \int_{-1}^{1}x^3,dx=0,\qquad \int_{-1}^{1}2x,dx=0,\qquad \int_{-1}^{1}x,dx=0 $$

であり、

$$ B=A\int_{-1}^{1}x^2,dx=\frac{2}{3}A $$

を得る。

これを先ほどの式に代入すると、

$$ A=\frac{14}{3}-2\cdot \frac{2}{3}A $$

すなわち

$$ A=\frac{14}{3}-\frac{4}{3}A $$

であるから、

$$ \frac{7}{3}A=\frac{14}{3} $$

より

$$ A=2 $$

となる。よって

$$ B=\frac{2}{3}A=\frac{4}{3} $$

である。

したがって

$$ f(x)=x^2+2+2x-\frac{4}{3} =x^2+2x+\frac{2}{3} $$

となる。

解法2

積分

$$ \int_{-1}^{1}(x-t)f(t),dt $$

は、$x$ に関して微分すると

$$ \frac{d}{dx}\int_{-1}^{1}(x-t)f(t),dt=\int_{-1}^{1}f(t),dt $$

となる。これは定数である。

そこで

$$ A=\int_{-1}^{1}f(t),dt $$

とおくと、与式を微分して

$$ f'(x)=2x+A $$

を得る。さらにもう一度微分すると

$$ f''(x)=2 $$

であるから、$f(x)$ は

$$ f(x)=x^2+Cx+D $$

と表せる。

このとき

$$ A=\int_{-1}^{1}(t^2+Ct+D),dt =\frac{2}{3}+0+2D =\frac{2}{3}+2D $$

である。また与式より

$$ f(x)=x^2+2+\int_{-1}^{1}(x-t)f(t),dt =x^2+2+Ax-B $$

と書けるので、係数比較により

$$ C=A,\qquad D=2-B $$

である。

一方、

$$ B=\int_{-1}^{1}t f(t),dt =\int_{-1}^{1}t(t^2+Ct+D),dt =0+\frac{2}{3}C+0 =\frac{2}{3}C $$

だから、

$$ D=2-\frac{2}{3}C $$

となる。

さらに $C=A=\dfrac{2}{3}+2D$ を用いると、

$$ C=\frac{2}{3}+2\left(2-\frac{2}{3}C\right) =\frac{14}{3}-\frac{4}{3}C $$

ゆえに

$$ \frac{7}{3}C=\frac{14}{3} $$

より

$$ C=2 $$

となる。したがって

$$ D=2-\frac{2}{3}\cdot 2=\frac{2}{3} $$

であり、

$$ f(x)=x^2+2x+\frac{2}{3} $$

を得る。

解説

この問題の要点は、積分の中の変数が $t$ であり、$x$ は外から見れば定数として扱えることである。そのため

$$ \int_{-1}^{1}(x-t)f(t),dt $$

は $x$ の一次式になる。

したがって、もとの式から $f(x)$ は二次式になると見抜くのが基本方針である。実際には、積分値を $A,B$ とおいて連立的に処理する方法が最も自然であり、計算も安定している。

答え

$$ f(x)=x^2+2x+\frac{2}{3} $$