解説

方針・初手

まず $x=0$ を代入して $f(0)$ を求める。

そのうえで，与えられた積分等式の両辺を微分して積分を消す。すると $f(x)$ が満たす多項式の恒等式が得られるので，それを用いて次数を決め，最後に $f(x)$ 自身を求める。

解法1

**(1)**

$x=0$ を与式

$$ 3\int_0^x t f'(t),dt = 2(x+1)f(x)-1 $$

に代入すると，

$$ 3\int_0^0 t f'(t),dt = 2(0+1)f(0)-1 $$

すなわち

$$ 0=2f(0)-1 $$

である。したがって，

$$ f(0)=\frac12 $$

となる。

（2） 与式の両辺を $x$ で微分する。左辺は微積分の基本定理より $3x f'(x)$ となるから，

$$ 3x f'(x)=2(x+1)f'(x)+2f(x) $$

である。整理すると，

$$ (x-2)f'(x)=2f(x) $$

を得る。

ここで $f(0)=\dfrac12$ であるから，$f(x)$ は定数ではない。よって $\deg f=n\ge 1$ とし，最高次係数を $a$ とする。

このとき $f'(x)$ の最高次項は $na x^{n-1}$ であるから，$(x-2)f'(x)$ の最高次項は $na x^n$，一方 $2f(x)$ の最高次項は $2a x^n$ である。したがって，

$$ na=2a $$

であり，$a\neq 0$ より

$$ n=2 $$

となる。よって $f(x)$ の次数は $2$ である。

（3） （1） より定数項は $\dfrac12$ であり，（2） より $f(x)$ は2次式であるから，

$$ f(x)=ax^2+bx+\frac12 $$

とおける。

これを

$$ (x-2)f'(x)=2f(x) $$

に代入する。$f'(x)=2ax+b$ なので，

$$ (x-2)(2ax+b)=2\left(ax^2+bx+\frac12\right) $$

となる。両辺を展開すると，

$$ 2ax^2+(b-4a)x-2b=2ax^2+2bx+1 $$

である。よって係数比較により，

$$ \begin{cases} b-4a=2b,\\ -2b=1 \end{cases} $$

を得る。

下の式から

$$ b=-\frac12 $$

であり，これを上の式に代入すると

$$ -\frac12-4a=-1 $$

より

$$ a=\frac18 $$

となる。

したがって，

$$ f(x)=\frac18x^2-\frac12x+\frac12 $$

すなわち

$$ f(x)=\frac{(x-2)^2}{8} $$

である。

解説

この問題の要点は，積分等式をそのまま扱うのではなく，まず $x=0$ を代入して定数情報を取り出し，その後に両辺を微分して多項式の恒等式に直すことである。

微分すると $(x-2)f'(x)=2f(x)$ となり，最高次項の比較だけで次数が $2$ と決まる。あとは2次式をおいて係数比較すればよい。

最初に $x=0$ を代入する手順を省くと，微分によって失われる定数情報を取り逃がすので注意が必要である。

答え

**(1)**

$$ f(0)=\frac12 $$

**(2)**

$$ f(x)\text{ の次数は }2 $$

**(3)**

$$ f(x)=\frac18x^2-\frac12x+\frac12=\frac{(x-2)^2}{8} $$