解説

方針・初手

定義式をそのまま係数に読み替えるのが初手である。

$f_n(x)=x-a_n,\ g_n(x)=x^2-b_nx$ であるから、定義より

$$ b_n=\int_0^1 |f_n(t)|,dt=\int_0^1 |t-a_n|,dt $$

および

$$ a_{n+1}=\int_0^1 g_n(t),dt=\int_0^1 (t^2-b_nt),dt=\frac13-\frac{b_n}{2} $$

が成り立つ。したがって、$a_n$ と $b_n$ を順に計算すればよい。

(2) も同様に、$a,\ b$ がこの2式を同時に満たす条件を解けばよい。

解法1

**(1)**

まず $f_1(x)=x-\dfrac12$ であるから $a_1=\dfrac12$ である。

したがって

$$ b_1=\int_0^1 \left|t-\frac12\right|dt =\int_0^{1/2}\left(\frac12-t\right)dt+\int_{1/2}^1\left(t-\frac12\right)dt =\frac18+\frac18 =\frac14 $$

となる。

よって

$$ a_2=\frac13-\frac{b_1}{2} =\frac13-\frac18 =\frac{5}{24} $$

である。したがって

$$ f_2(x)=x-\frac{5}{24} $$

となるので、

$$ b_2=\int_0^1 \left|t-\frac{5}{24}\right|dt =\int_0^{5/24}\left(\frac{5}{24}-t\right)dt+\int_{5/24}^1\left(t-\frac{5}{24}\right)dt $$

である。各項を計算すると

$$ \int_0^{5/24}\left(\frac{5}{24}-t\right)dt=\frac12\left(\frac{5}{24}\right)^2=\frac{25}{1152}, $$

$$ \int_{5/24}^1\left(t-\frac{5}{24}\right)dt=\frac12\left(1-\frac{5}{24}\right)^2=\frac12\left(\frac{19}{24}\right)^2=\frac{361}{1152} $$

であるから、

$$ b_2=\frac{25}{1152}+\frac{361}{1152}=\frac{386}{1152}=\frac{193}{576} $$

を得る。

さらに

$$ a_3=\frac13-\frac{b_2}{2} =\frac13-\frac{193}{1152} =\frac{384-193}{1152} =\frac{191}{1152} $$

である。

**(2)**

条件より

$$ a=\int_0^1 g(t),dt=\int_0^1 (t^2-bt),dt=\frac13-\frac{b}{2} $$

および

$$ b=\int_0^1 |f(t)|,dt=\int_0^1 |t-a|,dt $$

が成り立つ。

ここで $b\geqq 0$ であるから

$$ a=\frac13-\frac{b}{2}\leqq \frac13 $$

であり、特に $a\geqq 1$ は起こりえない。

そこで場合分けする。

**(i)**

$0\leqq a\leqq 1$ のとき

$$ b=\int_0^a (a-t),dt+\int_a^1 (t-a),dt =\frac{a^2}{2}+\frac{(1-a)^2}{2} =a^2-a+\frac12 $$

である。これに $a=\dfrac13-\dfrac{b}{2}$ を代入すると

$$ b=\left(\frac13-\frac{b}{2}\right)^2-\left(\frac13-\frac{b}{2}\right)+\frac12 $$

となる。整理して

$$ 9b^2-30b+10=0 $$

を得るので、

$$ b=\frac{30\pm \sqrt{900-360}}{18} =\frac{30\pm 6\sqrt{15}}{18} =\frac{5\pm \sqrt{15}}{3} $$

となる。

このうち

$$ b=\frac{5+\sqrt{15}}{3} $$

とすると

$$ a=\frac13-\frac{b}{2}<0 $$

となって、この場合の仮定 $0\leqq a$ に反する。したがって有効なのは

$$ b=\frac{5-\sqrt{15}}{3} $$

のみである。

**(ii)**

$a<0$ のとき

このとき $0\leqq t\leqq 1$ では常に $t-a>0$ であるから

$$ b=\int_0^1 (t-a),dt=\frac12-a $$

である。これに $a=\dfrac13-\dfrac{b}{2}$ を代入すると

$$ b=\frac12-\left(\frac13-\frac{b}{2}\right)=\frac16+\frac{b}{2} $$

より

$$ b=\frac13 $$

となる。しかしこのとき

$$ a=\frac13-\frac16=\frac16>0 $$

となって $a<0$ に反する。したがってこの場合に解はない。

以上より

$$ b=\frac{5-\sqrt{15}}{3} $$

である。

解説

この問題の本質は、関数そのものを追うのではなく、$f_n(x)=x-a_n,\ g_n(x)=x^2-b_nx$ の係数 $a_n,\ b_n$ だけを追えば十分である点にある。

特に

$$ a_{n+1}=\frac13-\frac{b_n}{2},\qquad b_n=\int_0^1 |t-a_n|,dt $$

という2本の式に落とせることが重要である。

また、$\int_0^1 |t-a|,dt$ は $a$ が区間 $[0,1]$ の内側にあるか外側にあるかで式が変わる。したがって (2) では場合分けが不可欠である。ここを省くと不適切な解を混ぜることになる。

答え

$$ \text{(1)}\quad b_2=\frac{193}{576},\qquad a_3=\frac{191}{1152} $$

$$ \text{(2)}\quad b=\frac{5-\sqrt{15}}{3} $$