解説

方針・初手

積分

$$ \int_{-1}^{1}(x-y)^2f(y)\,dy $$

は、$y$ について積分してしまえば $x$ の2次式になる。右辺も $x$ の2次式なので、$f(x)$ も高々2次式とみてよい。

そこで

$$ f(x)=ax^2+bx+c $$

とおき、積分を $x$ の式として整理して係数比較を行う。

解法1

まず

$$ (x-y)^2=x^2-2xy+y^2 $$

であるから、

$$ \int_{-1}^{1}(x-y)^2f(y)\,dy =x^2\int_{-1}^{1}f(y)\,dy -2x\int_{-1}^{1}y f(y)\,dy +\int_{-1}^{1}y^2 f(y)\,dy $$

となる。

ここで

$$ f(y)=ay^2+by+c $$

より、

$$ \int_{-1}^{1}f(y)\,dy =a\int_{-1}^{1}y^2\,dy+b\int_{-1}^{1}y\,dy+c\int_{-1}^{1}1\,dy =\frac{2a}{3}+2c $$

$$ \int_{-1}^{1}y f(y)\,dy =a\int_{-1}^{1}y^3\,dy+b\int_{-1}^{1}y^2\,dy+c\int_{-1}^{1}y\,dy =\frac{2b}{3} $$

$$ \int_{-1}^{1}y^2 f(y)\,dy =a\int_{-1}^{1}y^4\,dy+b\int_{-1}^{1}y^3\,dy+c\int_{-1}^{1}y^2\,dy =\frac{2a}{5}+\frac{2c}{3} $$

である。

したがって

$$ \int_{-1}^{1}(x-y)^2f(y)\,dy =\left(\frac{2a}{3}+2c\right)x^2-\frac{4b}{3}x+\left(\frac{2a}{5}+\frac{2c}{3}\right) $$

となる。

これを

$$ f(x)+\int_{-1}^{1}(x-y)^2f(y)\,dy=2x^2+x+\frac{5}{3} $$

に代入すると、

$$ ax^2+bx+c+\left(\frac{2a}{3}+2c\right)x^2-\frac{4b}{3}x+\left(\frac{2a}{5}+\frac{2c}{3}\right) =2x^2+x+\frac{5}{3} $$

であるから、係数比較により

$$ \frac{5a}{3}+2c=2 $$

$$ b-\frac{4b}{3}=1 $$

$$ \frac{2a}{5}+\frac{5c}{3}=\frac{5}{3} $$

を得る。

第2式から

$$ -\frac{b}{3}=1 $$

より

$$ b=-3 $$

である。

また、第1式、第3式は

$$ 5a+6c=6 $$

$$ 6a+25c=25 $$

と書ける。これを解くと、

$$ a=0,\quad c=1 $$

となる。

したがって

$$ f(x)=-3x+1 $$

である。

解説

この問題の要点は、積分の中では $y$ が変数であり、$x$ は定数として扱えることである。そのため

$$ \int_{-1}^{1}(x-y)^2f(y)\,dy $$

は $x$ の2次式になる。

したがって、最初から $f(x)=ax^2+bx+c$ とおいて係数比較に持ち込むのが自然である。対称区間 $[-1,1]$ では奇関数の積分が $0$ になるので、

$$ \int_{-1}^{1}y\,dy=0,\qquad \int_{-1}^{1}y^3\,dy=0 $$

を使うと計算が大きく簡単になる。

答え

$$ f(x)=1-3x $$