解説

方針・初手

両辺が正であることを用いて、不等式をそのまま示すのではなく、左辺と分母側の式を掛け合わせて $1$ 以上であることを示す。

すると、展開後に現れる

$$ \frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geqq 2 $$

の形を相加平均・相乗平均の関係で処理できる。 （2） もまったく同じ見方で進めればよい。

解法1

（1） の証明

示すべき不等式は

$$ \frac{m}{a}+\frac{n}{b}\geqq \frac{1}{am+bn} $$

である。

$a,b,m,n$ はすべて正であるから、両辺に正数 $am+bn$ を掛けて

$$ \left(\frac{m}{a}+\frac{n}{b}\right)(am+bn)\geqq 1 $$

を示せば十分である。

左辺を展開すると、

$$ \begin{aligned} \left(\frac{m}{a}+\frac{n}{b}\right)(am+bn) &=m^2+n^2+\frac{bm n}{a}+\frac{am n}{b} \\ &=m^2+n^2+mn\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right) \end{aligned} $$

となる。

ここで、$a,b>0$ より

$$ \frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geqq 2 $$

であるから、

$$ \begin{aligned} \left(\frac{m}{a}+\frac{n}{b}\right)(am+bn) &\geqq m^2+n^2+2mn \\ &=(m+n)^2 \end{aligned} $$

を得る。仮定 $m+n=1$ より

$$ (m+n)^2=1 $$

であるから、

$$ \left(\frac{m}{a}+\frac{n}{b}\right)(am+bn)\geqq 1 $$

となる。よって

$$ \frac{m}{a}+\frac{n}{b}\geqq \frac{1}{am+bn} $$

が成り立つ。

（2） の証明

示すべき不等式は

$$ \frac{p}{a}+\frac{q}{b}+\frac{r}{c}\geqq \frac{1}{ap+bq+cr} $$

である。

$a,b,c,p,q,r$ はすべて正であるから、両辺に正数 $ap+bq+cr$ を掛けて

$$ \left(\frac{p}{a}+\frac{q}{b}+\frac{r}{c}\right)(ap+bq+cr)\geqq 1 $$

を示せば十分である。

左辺を展開すると、

$$ \begin{aligned} \left(\frac{p}{a}+\frac{q}{b}+\frac{r}{c}\right)(ap+bq+cr) &=p^2+q^2+r^2 +pq\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right) \\ &\qquad +qr\left(\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\right) +rp\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right) \end{aligned} $$

となる。

ここで、

$$ \frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geqq 2,\qquad \frac{b}{c}+\frac{c}{b}\geqq 2,\qquad \frac{c}{a}+\frac{a}{c}\geqq 2 $$

であるから、

$$ \begin{aligned} \left(\frac{p}{a}+\frac{q}{b}+\frac{r}{c}\right)(ap+bq+cr) &\geqq p^2+q^2+r^2+2pq+2qr+2rp \\ &=(p+q+r)^2 \end{aligned} $$

を得る。仮定 $p+q+r=1$ より

$$ (p+q+r)^2=1 $$

であるから、

$$ \left(\frac{p}{a}+\frac{q}{b}+\frac{r}{c}\right)(ap+bq+cr)\geqq 1 $$

となる。したがって

$$ \frac{p}{a}+\frac{q}{b}+\frac{r}{c}\geqq \frac{1}{ap+bq+cr} $$

が成り立つ。

解法2

（2） を （1） を用いて示す方法

まず

$$ m=\frac{p}{p+q},\qquad n=\frac{q}{p+q} $$

とおくと、$m+n=1$ である。したがって （1） より

$$ \frac{m}{a}+\frac{n}{b}\geqq \frac{1}{am+bn} $$

である。

両辺に $p+q$ を掛けると、

$$ \frac{p}{a}+\frac{q}{b}\geqq \frac{(p+q)^2}{ap+bq} $$

を得る。

よって

$$ \frac{p}{a}+\frac{q}{b}+\frac{r}{c}\geqq \frac{(p+q)^2}{ap+bq}+\frac{r}{c} $$

となる。

ここで

$$ u=p+q,\qquad v=r $$

とおくと、仮定 $p+q+r=1$ より $u+v=1$ である。さらに

$$ A=\frac{ap+bq}{p+q},\qquad B=c $$

とおけば、再び （1） より

$$ \frac{u}{A}+\frac{v}{B}\geqq \frac{1}{Au+Bv} $$

が成り立つ。

すなわち

$$ \frac{(p+q)^2}{ap+bq}+\frac{r}{c}\geqq \frac{1}{ap+bq+cr} $$

を得る。

したがって

$$ \frac{p}{a}+\frac{q}{b}+\frac{r}{c}\geqq \frac{1}{ap+bq+cr} $$

が従う。

解説

この問題の核心は、分数不等式を直接いじるのではなく、分母側の式を掛けて二次式に持ち込む点にある。

すると交差項に

$$ \frac{a}{b}+\frac{b}{a} $$

の形が現れ、これは相加平均・相乗平均より $2$ 以上と評価できる。 その結果、全体が

$$ (m+n)^2,\qquad (p+q+r)^2 $$

で下から抑えられ、仮定からただちに $1$ が得られる。

（2） は （1） の三変数版と見るのが自然であり、展開で一気に処理するのが最も素直である。

答え

**(1)**

$$ \frac{m}{a}+\frac{n}{b}\geqq \frac{1}{am+bn} $$

**(2)**

$$ \frac{p}{a}+\frac{q}{b}+\frac{r}{c}\geqq \frac{1}{ap+bq+cr} $$

がいずれも成り立つ。