解説

方針・初手

各条件を全体の和 $S=a_1+a_2+\cdots+a_n$ を用いて書き直すのが初手である。

「$a_i$ は他の $n-1$ 個の相加平均より大きくない」という条件は

$$ a_i\le \frac{S-a_i}{n-1} $$

であるから、これを整理して各 $a_i$ と全体の和 $S$ の関係に直す。

解法1

$S=a_1+a_2+\cdots+a_n$ とおく。

各 $i=1,2,\dots,n$ について、条件より

$$ a_i\le \frac{S-a_i}{n-1} $$

が成り立つ。両辺に $n-1$ を掛けて整理すると

$$ (n-1)a_i\le S-a_i $$

すなわち

$$ na_i\le S $$

を得る。

これがすべての $i$ について成り立つので、両辺を $i=1,2,\dots,n$ について足し合わせると

$$ n(a_1+a_2+\cdots+a_n)\le nS $$

となる。しかし左辺は $nS$ そのものであるから、

$$ nS\le nS $$

であり、実は等号しか起こりえない。

したがって、各不等式

$$ na_i\le S $$

はすべて等号でなければならない。よってすべての $i$ について

$$ na_i=S $$

である。したがって

$$ a_1=a_2=\cdots=a_n=\frac{S}{n} $$

となり、$a_1,\dots,a_n$ はすべて等しい。

逆に、任意の実数 $c$ に対して

$$ a_1=a_2=\cdots=a_n=c $$

とすれば、各 $a_i$ は他の $n-1$ 個の相加平均 $c$ に等しいので、条件を満たす。

以上より、求める組はすべての成分が等しいものに限る。

解法2

全体の平均を

$$ m=\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n} $$

とおく。

条件

$$ a_i\le \frac{(a_1+\cdots+a_n)-a_i}{n-1} $$

を整理すると

$$ na_i\le a_1+\cdots+a_n $$

すなわち

$$ a_i\le m $$

である。よってすべての $a_i$ は全体の平均 $m$ 以下である。

しかし $a_1,\dots,a_n$ の平均が $m$ である以上、すべての項が $m$ 以下なら、少なくとも1つでも $m$ より小さいものがあれば平均は $m$ より小さくなってしまう。したがって全員がちょうど $m$ に等しくなければならない。

ゆえに

$$ a_1=a_2=\cdots=a_n $$

である。

逆に、すべて等しければ条件を満たす。

解説

条件をそのまま個別に扱うと見通しが悪いが、全体の和または全体の平均を導入すると一気に対称性が見える問題である。

特に

$$ a_i\le \frac{S-a_i}{n-1} \iff na_i\le S $$

という変形により、「各 $a_i$ は全体の平均以下である」という形になる。平均以下の数しかないのに、その平均が同じ値であるためには、結局すべて等しくなるしかない。

答え

求める組は

$$ a_1=a_2=\cdots=a_n=c\qquad (cは任意の実数) $$

である。