解説

方針・初手

いずれも相加平均・相乗平均の関係

$$ u+\frac{c}{u}\geqq 2\sqrt{c}\qquad (u>0,\ c>0) $$

を使うのが自然である。

（1） では $x+a>0$ に着目して $t=x+a$ とおくとすぐに基本形になる。

（2） では式を $y$ と $\dfrac1y$ でまとめると積の形に整理でき、2回の相加平均・相乗平均の関係で処理できる。

解法1

**(1)**

$x>-a$ より

$$ x+a>0 $$

である。ここで

$$ t=x+a\qquad (t>0) $$

とおくと，

$$ x+\frac{b^2}{x+a}=t-a+\frac{b^2}{t}. $$

したがって

$$ x+\frac{b^2}{x+a} =\left(t+\frac{b^2}{t}\right)-a. $$

ここで $t>0,\ b>0$ であるから，相加平均・相乗平均の関係より

$$ t+\frac{b^2}{t}\geqq 2b. $$

よって

$$ x+\frac{b^2}{x+a}\geqq 2b-a. $$

これで示された。

等号成立条件は

$$ t=\frac{b^2}{t} $$

すなわち

$$ t=b $$

のときである。$t=x+a$ だから

$$ x+a=b $$

より

$$ x=b-a. $$

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**(2)**

与式を整理すると

$$ xy+\frac{4y}{x+1}+\frac{x}{y}+\frac{4}{(x+1)y} = y\left(x+\frac{4}{x+1}\right)+\frac1y\left(x+\frac{4}{x+1}\right). $$

したがって

$$ xy+\frac{4y}{x+1}+\frac{x}{y}+\frac{4}{(x+1)y} =\left(x+\frac{4}{x+1}\right)\left(y+\frac1y\right). $$

ここで $x>-1$ より $x+1>0$ である。そこで

$$ u=x+1\qquad (u>0) $$

とおくと

$$ x+\frac{4}{x+1}=u-1+\frac4u =\left(u+\frac4u\right)-1. $$

相加平均・相乗平均の関係より

$$ u+\frac4u\geqq 2\sqrt{4}=4 $$

であるから

$$ x+\frac{4}{x+1}\geqq 3. $$

また $y>0$ より

$$ y+\frac1y\geqq 2. $$

以上より

$$ \left(x+\frac{4}{x+1}\right)\left(y+\frac1y\right)\geqq 3\cdot 2=6. $$

ゆえに

$$ xy+\frac{4y}{x+1}+\frac{x}{y}+\frac{4}{(x+1)y}\geqq 6. $$

これで示された。

等号成立のためには，それぞれの不等式で同時に等号が成り立たねばならない。

まず

$$ u+\frac4u\geqq 4 $$

で等号成立は

$$ u=2 $$

のとき，すなわち

$$ x+1=2 $$

より

$$ x=1. $$

また

$$ y+\frac1y\geqq 2 $$

で等号成立は

$$ y=1 $$

のときである。

したがって等号成立は

$$ x=1,\quad y=1 $$

のときである。

解説

この問題の要点は，分母にある式が正であることを確認してから，基本不等式

$$ u+\frac{c}{u}\geqq 2\sqrt{c} $$

の形へ持ち込むことである。

（1） は $x+a$ を1つの文字で置けばそのまま処理できる典型問題である。

（2） は最初のままでは見通しが悪いが，

$$ xy+\frac{4y}{x+1}+\frac{x}{y}+\frac{4}{(x+1)y} =\left(x+\frac{4}{x+1}\right)\left(y+\frac1y\right) $$

と因数分解できることに気づけば，一気に基本形へ帰着する。等号条件は，各段階の等号条件を同時に満たすものを求めればよい。

答え

**(1)**

$$ x+\frac{b^2}{x+a}\geqq 2b-a $$

であり，等号成立は

$$ x=b-a $$

のときである。

**(2)**

$$ xy+\frac{4y}{x+1}+\frac{x}{y}+\frac{4}{(x+1)y}\geqq 6 $$

であり，等号成立は

$$ x=1,\quad y=1 $$

のときである。