解説

方針・初手

式をそのまま展開すると、$a$ と $b$ の比だけで表せる形になる。すると、基本不等式

$$ {\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geqq 2} $$

を使って最小値を求めることができる。

解法1

与えられた式を

$$ (a+2b)\left(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}\right) $$

とする。

これを展開すると、

$$ (a+2b)\left(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}\right) = a\cdot \frac{1}{a}+a\cdot \frac{2}{b}+2b\cdot \frac{1}{a}+2b\cdot \frac{2}{b} $$

より、

$$ =1+\frac{2a}{b}+\frac{2b}{a}+4 =5+2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right) $$

となる。

ここで、$a>0,\ b>0$ より $\frac{a}{b}>0,\ \frac{b}{a}>0$ であり、相加平均・相乗平均の関係から

$$ \frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geqq 2\sqrt{\frac{a}{b}\cdot \frac{b}{a}}=2 $$

である。

したがって、

$$ 5+2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\geqq 5+2\cdot 2=9 $$

となるので、求める式の最小値は $9$ である。

等号成立は

$$ \frac{a}{b}=\frac{b}{a} $$

すなわち

$$ a^2=b^2 $$

のときである。$a>0,\ b>0$ だから $a=b$ のときに等号が成立する。

解法2

$t=\frac{a}{b}$ とおくと、$a>0,\ b>0$ より $t>0$ である。

このとき、

$$ a=tb $$

なので、

$$ (a+2b)\left(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}\right) =(tb+2b)\left(\frac{1}{tb}+\frac{2}{b}\right) =(t+2)\left(\frac{1}{t}+2\right) $$

となる。

これを展開すると、

$$ (t+2)\left(\frac{1}{t}+2\right) =1+2t+\frac{2}{t}+4 =5+2\left(t+\frac{1}{t}\right) $$

である。

ここで $t>0$ だから、

$$ t+\frac{1}{t}\geqq 2 $$

より、

$$ 5+2\left(t+\frac{1}{t}\right)\geqq 5+2\cdot 2=9 $$

となる。

したがって、最小値は $9$ である。

等号成立は $t=1$、すなわち $\frac{a}{b}=1$、つまり $a=b$ のときである。

解説

この問題の要点は、$a,\ b$ を個別に扱うのではなく、$\frac{a}{b}$ と $\frac{b}{a}$ に注目することである。展開すると対称な形

$$ \frac{a}{b}+\frac{b}{a} $$

が現れ、これは基本不等式で直ちに下から評価できる。

また、$a,\ b$ の同次性があるので、$\frac{a}{b}$ を文字 $t$ で置く別解も自然である。比に着目する発想が重要である。

答え

最小値は

$$ 9 $$

であり、そのときは $a=b$ である。