解説

方針・初手

条件 $a>-1,\ b>-2$ から、分母に現れる $a+1,\ b+2$ はともに正である。そこで

$$ x=a+1,\quad y=b+2 $$

とおくと、$x>0,\ y>0$ となり、式は正の変数についての最小値問題に直せる。

解法1

$x=a+1,\ y=b+2$ とおくと、

$$ a=x-1,\quad b=y-2 $$

であるから、与式は

$$ 2b+\frac{2}{a+1}+\frac{2a+2}{b+2} =2(y-2)+\frac{2}{x}+\frac{2x}{y} $$

となる。よって

$$ 2b+\frac{2}{a+1}+\frac{2a+2}{b+2} =2\left(y+\frac{1}{x}+\frac{x}{y}\right)-4 $$

を最小にすればよい。

ここで、$x>0,\ y>0$ なので

$$ y>0,\quad \frac{1}{x}>0,\quad \frac{x}{y}>0 $$

であり、これら3つの正の数の積は

$$ y\cdot \frac{1}{x}\cdot \frac{x}{y}=1 $$

である。

したがって、相加平均・相乗平均の関係より

$$ y+\frac{1}{x}+\frac{x}{y}\geqq 3 $$

が成り立つ。よって

$$ 2\left(y+\frac{1}{x}+\frac{x}{y}\right)-4\geqq 2\cdot 3-4=2 $$

となるので、与式の最小値は $2$ である。

等号成立は

$$ y=\frac{1}{x}=\frac{x}{y} $$

のときである。これより

$$ x=1,\quad y=1 $$

となるから、

$$ a=x-1=0,\quad b=y-2=-1 $$

のとき最小値 $2$ をとる。

解説

この問題の要点は、条件 $a>-1,\ b>-2$ を見て

$$ a+1,\quad b+2 $$

を新しい正の変数とみなすことである。すると式が

$$ y+\frac{1}{x}+\frac{x}{y} $$

の形になり、3つの正の数の積が $1$ になることから、相加平均・相乗平均をそのまま使える。

無理に微分や複雑な変形をする必要はなく、置換によって典型的な最小値問題に直すのが自然である。

答え

最小値は

$$ 2 $$

であり、そのとき

$$ a=0,\quad b=-1 $$

である。