解説

方針・初手

条件 $x>0,\ y>0,\ x+y=1$ のもとでは、$xy$ の最大値を考えるのが基本である。

なぜなら、（1） は $\dfrac{1}{xy}$ の最小値、（2） も結局 $\dfrac{1}{xy}$ で表せるため、いずれも $xy$ をできるだけ大きくすればよいからである。

解法1

まず、相加平均・相乗平均の関係より

$$ \frac{x+y}{2}\geqq \sqrt{xy} $$

である。

ここで $x+y=1$ だから

$$ \frac{1}{2}\geqq \sqrt{xy} $$

したがって

$$ xy\leqq \frac{1}{4} $$

となる。等号は $x=y$ のとき、すなわち $x=y=\dfrac12$ のときに成り立つ。

（1） $\dfrac{1}{xy}$ の最小値

$x,y>0$ より $xy>0$ であるから、$xy$ が最大のとき $\dfrac{1}{xy}$ は最小になる。

上で $xy\leqq \dfrac14$ を得たので

$$ \frac{1}{xy}\geqq 4 $$

よって最小値は

$$ 4 $$

である。これは $x=y=\dfrac12$ のときに達する。

（2） $\left(1+\dfrac1x\right)\left(1+\dfrac1y\right)$ の最小値

式を展開すると

$$ \left(1+\frac1x\right)\left(1+\frac1y\right) =1+\frac1x+\frac1y+\frac{1}{xy} $$

ここで

$$ \frac1x+\frac1y=\frac{x+y}{xy}=\frac{1}{xy} $$

より

$$ \left(1+\frac1x\right)\left(1+\frac1y\right) =1+\frac{2}{xy} $$

となる。

したがって、これも $\dfrac1{xy}$ が最小のときに最小となるから、（1） の結果を用いて

$$ 1+\frac{2}{xy}\geqq 1+2\cdot 4=9 $$

よって最小値は

$$ 9 $$

である。これも $x=y=\dfrac12$ のときに達する。

解説

この問題の核心は、条件 $x+y=1$ のもとで $xy$ の最大値が $\dfrac14$ であることにある。

（1） はそのまま逆数をとるだけでよい。

（2） は一見別の式に見えるが、展開して $\dfrac1x+\dfrac1y=\dfrac{x+y}{xy}=\dfrac1{xy}$ と変形すれば、結局 （1） と同じ内容になる。条件式 $x+y=1$ を途中で正しく使えるかが重要である。

答え

**(1)**

最小値は

$$ 4 $$

**(2)**

最小値は

$$ 9 $$

いずれも $x=y=\dfrac12$ のときに成り立つ。