解説

方針・初手

まず

$$ x+y\geqq 2\sqrt{xy} $$

という基本不等式を使う。これは

$$ (\sqrt{x}-\sqrt{y})^2\geqq 0 $$

から直ちに得られる。

与えられた不等式

$$ c(x+y)\geqq 2\sqrt{xy} $$

は、この基本不等式と比較すればよい。

また、逆向きの必要条件を示すときは、等号が成り立ちやすい $x=y$ を代入するのが最も鋭い。

解法1

まず、$x,y\geqq 0$ より

$$ (\sqrt{x}-\sqrt{y})^2\geqq 0 $$

であるから、

$$ x+y-2\sqrt{xy}\geqq 0 $$

すなわち

$$ x+y\geqq 2\sqrt{xy} $$

が成り立つ。

**(1)**

$c\geqq 1$ のとき、$x+y\geqq 0$ であるから

$$ c(x+y)\geqq x+y $$

である。したがって

$$ c(x+y)\geqq x+y\geqq 2\sqrt{xy} $$

となり、

$$ c(x+y)\geqq 2\sqrt{xy} $$

は常に成り立つ。

（2） 逆に、

$$ c(x+y)\geqq 2\sqrt{xy} $$

が $x,y\geqq 0$ のもとで常に成り立つとする。

ここで $x=y=1$ を代入すると、

$$ c(1+1)\geqq 2\sqrt{1\cdot 1} $$

より

$$ 2c\geqq 2 $$

となるので、

$$ c\geqq 1 $$

を得る。

したがって、与えられた不等式が常に成り立つための必要十分条件は

$$ c\geqq 1 $$

である。

**(3)**

$$ \sqrt{x}+\sqrt{y}\leqq k\sqrt{x+y} $$

が常に成り立つような正の定数 $k$ の最小値を求める。

両辺とも $0$ 以上なので、両辺を2乗してよい。すると

$$ x+y+2\sqrt{xy}\leqq k^2(x+y) $$

となる。これを移項して

$$ 2\sqrt{xy}\leqq (k^2-1)(x+y) $$

を得る。

これは、最初の不等式

$$ c(x+y)\geqq 2\sqrt{xy} $$

において

$$ c=k^2-1 $$

とおいたものにほかならない。

したがって、（1）、（2） より、これが常に成り立つための必要十分条件は

$$ k^2-1\geqq 1 $$

すなわち

$$ k^2\geqq 2 $$

である。

$k>0$ だから

$$ k\geqq \sqrt{2} $$

となる。よって最小値は

$$ \sqrt{2} $$

である。

解説

この問題の核は

$$ x+y\geqq 2\sqrt{xy} $$

という相加平均・相乗平均の関係である。

（1） では、この基本不等式に対して係数 $c$ が $1$ 以上なら左辺はさらに大きくなるので十分である。

（2） では、常に成り立つなら特に $x=y$ の場合にも成り立たなければならない。$x=y$ はもとの基本不等式で等号が成り立つ場合であり、必要条件を引き出すのに最も適している。

（3） は2乗して （1）、（2） の結果に帰着させるのが最短である。直接考えるより、既に得た必要十分条件を再利用するのが要点である。

答え

**(1)**

$c\geqq 1$ なら

$$ c(x+y)\geqq 2\sqrt{xy} $$

は常に成り立つ。

**(2)**

$$ c(x+y)\geqq 2\sqrt{xy} $$

が常に成り立つなら

$$ c\geqq 1 $$

である。

**(3)**

求める最小の正の定数は

$$ \sqrt{2} $$

である。