解説

方針・初手

まず $x+\dfrac{1}{x}$ をひとまとまりにみる。

$x$ は $0$ でない実数なので、$x+\dfrac{1}{x}$ のとりうる値は制限される。そこで

$$ t=x+\frac{1}{x} $$

とおいて、$f(x)$ を $t$ の式として考える。

解法1

$t=x+\dfrac{1}{x}$ とおくと、

$$ f(x)=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-\left(x+\frac{1}{x}\right)=t^2-t $$

である。

ここで、$x$ は実数かつ $x\neq 0$ なので、

$$ \left(x-\frac{1}{x}\right)^2 \geq 0 $$

より

$$ x^2-2+\frac{1}{x^2}\geq 0 $$

すなわち

$$ x^2+\frac{1}{x^2}\geq 2 $$

となる。したがって

$$ \left(x+\frac{1}{x}\right)^2=x^2+2+\frac{1}{x^2}\geq 4 $$

であり、

$$ t=x+\frac{1}{x}\leq -2 \quad \text{または} \quad t\geq 2 $$

が分かる。

よって、求める最小値は

$$ t^2-t \quad (t\leq -2 \text{ または } t\geq 2) $$

の最小値に一致する。

ここで平方完成すると、

$$ t^2-t=\left(t-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4} $$

である。頂点は $t=\dfrac{1}{2}$ にあるが、これは許される範囲 $t\leq -2$ または $t\geq 2$ に含まれない。

したがって、$t=\dfrac{1}{2}$ に最も近い許される値 $t=2$ のとき最小となる。

$$ f(x)\geq 2^2-2=2 $$

実際、$x=1$ のとき

$$ x+\frac{1}{x}=2 $$

なので

$$ f(1)=2^2-2=2 $$

となり、この値は実際にとれる。

以上より、最小値は $2$ である。

解法2

$x>0$ のときは相加平均・相乗平均より

$$ x+\frac{1}{x}\geq 2 $$

また、$x<0$ のときは $y=-x>0$ とおけば

$$ x+\frac{1}{x}=-(y+\frac{1}{y})\leq -2 $$

である。したがって、やはり

$$ x+\frac{1}{x}\leq -2 \quad \text{または} \quad x+\frac{1}{x}\geq 2 $$

が成り立つ。

そこで $t=x+\dfrac{1}{x}$ とおくと、$f(x)=t^2-t$ であり、$t$ の範囲は上の通りである。

二次関数 $y=t^2-t$ は上に開く放物線で、頂点は $t=\dfrac{1}{2}$ である。これは許される範囲の外にあるので、最小は端の $t=2$ で生じる。

$$ f_{\min}=2^2-2=2 $$

解説

この問題の要点は、$x$ そのものを直接動かすのではなく、$x+\dfrac{1}{x}$ を新しい文字で置くことである。

そのうえで、実数 $x\neq 0$ に対して

$$ x+\frac{1}{x}\leq -2 \quad \text{または} \quad x+\frac{1}{x}\geq 2 $$

という基本事実を使えば、あとは二次関数の最小値の問題に帰着する。$t=\dfrac{1}{2}$ が頂点だからといって、そのまま代入してはいけない点が重要である。$t$ のとりうる範囲を必ず確認する必要がある。

答え

最小値は

$$ 2 $$

である。