解説

方針・初手

（1） は、分母を払って平方の形に直すのが最も直接的である。

（2） は積を展開すると、対角成分 $a_i \cdot \frac1{a_i}=1$ が $n$ 個現れ、さらに $a_i/a_j$ と $a_j/a_i$ の組が現れる。そこで （1） の結果を各組に適用する。

解法1

**(1)**

示すべき不等式は

$$ \frac{y}{x}+\frac{x}{y}\geqq 2 $$

である。$x,y>0$ であるから $xy>0$ であり、両辺に $xy$ を掛けてよい。すると

$$ y^2+x^2\geqq 2xy $$

となる。これは

$$ x^2-2xy+y^2=(x-y)^2\geqq 0 $$

より明らかに成り立つ。

したがって

$$ \frac{y}{x}+\frac{x}{y}\geqq 2 $$

である。

また、等号成立は

$$ (x-y)^2=0 $$

のとき、すなわち

$$ x=y $$

のときに限る。

**(2)**

与式の左辺を展開すると

$$ \begin{aligned} \left( a_1+\cdots+a_n \right)\left( \frac1{a_1}+\cdots+\frac1{a_n} \right) &= \sum_{i=1}^n a_i\cdot \frac1{a_i} + \sum_{1\leqq i<j\leqq n}\left( \frac{a_i}{a_j}+\frac{a_j}{a_i} \right) \end{aligned} $$

である。

第1項は

$$ \sum_{i=1}^n a_i\cdot \frac1{a_i}=n $$

である。

一方、各 $i<j$ について $a_i,a_j>0$ であるから、（1） を $x=a_i,\ y=a_j$ に適用して

$$ \frac{a_i}{a_j}+\frac{a_j}{a_i}\geqq 2 $$

を得る。したがって

$$ \sum_{1\leqq i<j\leqq n}\left( \frac{a_i}{a_j}+\frac{a_j}{a_i} \right) \geqq 2{}_{n}\mathrm{C}_{2} = n(n-1) $$

である。

以上より

$$ \left( a_1+\cdots+a_n \right)\left( \frac1{a_1}+\cdots+\frac1{a_n} \right) \geqq n+n(n-1)=n^2 $$

となり、示された。

次に等号成立条件を調べる。等号が成立するためには、上の各不等式がすべて等号で成り立たねばならない。特にすべての $i<j$ について

$$ \frac{a_i}{a_j}+\frac{a_j}{a_i}=2 $$

でなければならない。（1） の等号条件より、これは

$$ a_i=a_j $$

を意味する。よって

$$ a_1=a_2=\cdots=a_n $$

のとき、かつそのときに限り等号が成り立つ。

解説

（1） は基本不等式 $x^2+y^2\geqq 2xy$、すなわち $(x-y)^2\geqq 0$ に帰着する典型問題である。

（2） は一見すると別の問題に見えるが、積を展開すると （1） と同じ形

$$ \frac{a_i}{a_j}+\frac{a_j}{a_i} $$

が現れる。したがって、（1） を補題として使うのが自然である。

等号条件は「各組ごとに等号が成り立つこと」を丁寧に追うことが重要であり、その結果としてすべての $a_i$ が等しくなる。

答え

**(1)**

$$ \frac{y}{x}+\frac{x}{y}\geqq 2 $$

が成り立つ。等号成立条件は

$$ x=y $$

である。

**(2)**

$$ \left( a_1+\cdots+a_n \right)\left( \frac1{a_1}+\cdots+\frac1{a_n} \right)\geqq n^2 $$

が成り立つ。等号成立条件は

$$ a_1=a_2=\cdots=a_n $$

である。