解説

方針・初手

$\cos 2\theta$ は $\sin^2\theta$ を用いて表せるので，まず $\cos 2\theta=1-2\sin^2\theta$ を使って $t$ の式に直す。

その後，

$$ \frac{\cos 2\theta}{\sin\theta}+5\sin\theta $$

を $\sin\theta$ だけの式に変形し，$0<\theta<\pi$ から分かる $\sin\theta$ の範囲で最小値を求める。

解法1

$\sin\theta=t$ であるから，

$$ \cos 2\theta=1-2\sin^2\theta=1-2t^2 $$

となる。したがって，$\boxed{\text{オ}=2}$ である。

次に，

$$ \begin{aligned} \frac{\cos 2\theta}{\sin\theta}+5\sin\theta &= \frac{1-2\sin^2\theta}{\sin\theta}+5\sin\theta \end{aligned} $$

より，

$$ \begin{aligned} \frac{\cos 2\theta}{\sin\theta}+5\sin\theta &= \frac{1}{\sin\theta}-2\sin\theta+5\sin\theta \\ &=\frac{1}{\sin\theta}+3\sin\theta \end{aligned} $$

となる。

ここで $0<\theta<\pi$ であるから，

$$ 0<\sin\theta\leqq 1 $$

である。$x=\sin\theta$ とおくと，求める式は

$$ f(x)=\frac{1}{x}+3x \qquad (0<x\leqq 1) $$

となる。

これを微分すると，

$$ f'(x)=-\frac{1}{x^2}+3 $$

であるから，

$$ f'(x)=0 \iff -\frac{1}{x^2}+3=0 \iff x^2=\frac{1}{3} \iff x=\frac{1}{\sqrt{3}} $$

を得る。ただし $x>0$ なので正の値をとる。

さらに，

$$ f''(x)=\frac{2}{x^3}>0 $$

であるから，$x=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ のとき極小，したがって最小となる。

その値は

$$ \begin{aligned} f\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) &= \sqrt{3}+3\cdot\frac{1}{\sqrt{3}} \\ &=\sqrt{3}+\sqrt{3} \\ &=2\sqrt{3} \end{aligned} $$

である。

よって，最小値は $\boxed{2\sqrt{3}}$ であり，$\boxed{\text{カ}=2\sqrt{3}}$ である。

解法2

最小値は相加平均と相乗平均の関係を用いても求められる。

解法1と同様に，

$$ \begin{aligned} \frac{\cos 2\theta}{\sin\theta}+5\sin\theta &= \frac{1}{\sin\theta}+3\sin\theta \end{aligned} $$

と変形できる。ここで $x=\sin\theta \ (0<x\leqq 1)$ とおくと，

$$ \frac{1}{x}+3x $$

を最小にすればよい。

正の数 $\dfrac{1}{x}$ と $3x$ に対して，相加平均と相乗平均の関係より

$$ \begin{aligned} \frac{1}{x}+3x &\geqq 2\sqrt{\frac{1}{x}\cdot 3x} &= 2\sqrt{3} \end{aligned} $$

である。

等号成立条件は

$$ \frac{1}{x}=3x $$

すなわち

$$ x=\frac{1}{\sqrt{3}} $$

のときであり，これは $0<x\leqq 1$ を満たす。したがって最小値は

$$ 2\sqrt{3} $$

である。

解説

$\cos 2\theta$ を $\sin\theta$ で表す

$$ \cos 2\theta=1-2\sin^2\theta $$

は基本公式であり，本問の出発点である。

後半は $\sin\theta$ を文字 $x$ とおけば，三角関数の問題が

$$ \frac{1}{x}+3x $$

という典型的な最小値問題に変わる。微分でも相加平均と相乗平均でも処理できるが，入試では後者の方が速い。

答え

$\text{オ}=2,\ \text{カ}=2\sqrt{3}$