解説

方針・初手

分母は

$$ x^2y,\quad 18y^2z,\quad 12z^2x $$

の3項の和であり，それぞれ正である。したがって，相加平均・相乗平均の関係を用いると分母の下限が出せる。そこから分数全体の最大値を求める。

解法1

与式を

$$ \frac{9xyz}{x^2y+18y^2z+12z^2x} $$

とする。

$x>0,\ y>0,\ z>0$ より，分母の3項はすべて正であるから，相加平均・相乗平均の関係より

$$ x^2y+18y^2z+12z^2x \geqq 3\sqrt[3]{(x^2y)(18y^2z)(12z^2x)} $$

である。

ここで

$$ (x^2y)(18y^2z)(12z^2x) =216x^3y^3z^3 =(6xyz)^3 $$

であるから，

$$ x^2y+18y^2z+12z^2x \geqq 3\sqrt[3]{(6xyz)^3} =18xyz $$

となる。

よって

$$ \frac{9xyz}{x^2y+18y^2z+12z^2x} \leqq \frac{9xyz}{18xyz} =\frac12 $$

である。

したがって，最大値は $\dfrac12$ である。

なお，等号成立条件は

$$ x^2y=18y^2z=12z^2x $$

のときである。実際，これを満たす比は例えば

$$ x:y:z=6:2:1 $$

であり，このとき確かに最大値 $\dfrac12$ をとる。

解説

この問題は，分子が $xyz$，分母が3つの3次式の和になっているので，相加平均・相乗平均の関係を疑うのが自然である。

実際，分母の3項の積を計算すると $(6xyz)^3$ となり，分子の $xyz$ ときれいに対応する。そのため分母を $18xyz$ 以上と評価でき，ただちに最大値が定まる。

答え

$\boxed{\dfrac12}$

したがって，アは $\dfrac12$ である。