解説

方針・初手

基本不等式 $a+\dfrac{b}{a}\geqq 2\sqrt{b}$ を用いると，前半の最小値はすぐに処理できる。

後半の分数式は，微分して増減を調べるのが最も確実である。

解法1

**(1)**

$x>0$ のときの $x+\dfrac{1}{x}$ の最小値

$x>0$ であるから，相加平均・相乗平均の関係より

$$ x+\frac{1}{x}\geqq 2\sqrt{x\cdot \frac{1}{x}}=2 $$

となる。

等号は $x=\dfrac{1}{x}$，すなわち $x=1$ のときに成り立つ。したがって最小値は

$$ 2 $$

である。

**(2)**

$x>0,\ y>0$ のときの $\left(x+\dfrac{1}{y}\right)\left(y+\dfrac{4}{x}\right)$ の最小値

まず展開すると

$$ \left(x+\frac{1}{y}\right)\left(y+\frac{4}{x}\right) =xy+4+1+\frac{4}{xy} =xy+\frac{4}{xy}+5 $$

となる。

ここで $xy>0$ であるから，$t=xy$ とおくと $t>0$ であり，求める式は

$$ t+\frac{4}{t}+5 $$

となる。

再び相加平均・相乗平均の関係より

$$ t+\frac{4}{t}\geqq 2\sqrt{t\cdot \frac{4}{t}}=4 $$

であるから，

$$ t+\frac{4}{t}+5\geqq 9 $$

となる。

等号は

$$ t=\frac{4}{t} $$

すなわち

$$ t^2=4,\quad t=2 $$

のとき成り立つ。$t=xy$ であるから，$xy=2$ を満たすとき最小値をとる。よって最小値は

$$ 9 $$

である。

**(3)**

$x$ が任意の実数値をとるときの $\dfrac{x+2}{x^2+2x+16}$ の最大値

$$ f(x)=\frac{x+2}{x^2+2x+16} $$

とおく。

分母は

$$ x^2+2x+16=(x+1)^2+15>0 $$

であり，すべての実数 $x$ で正であるから，微分して増減を調べればよい。

$$ \begin{aligned} f'(x) &= \frac{(x^2+2x+16)-(x+2)(2x+2)}{(x^2+2x+16)^2} \end{aligned} $$

分子を整理すると

$$ (x^2+2x+16)-(2x^2+6x+4) =-x^2-4x+12 =-(x-2)(x+6) $$

したがって

$$ f'(x)=\frac{-(x-2)(x+6)}{(x^2+2x+16)^2} $$

となる。分母は常に正であるから，$f'(x)$ の符号は $-(x-2)(x+6)$ で決まる。

よって，

$$ x<-6 \text{ で } f'(x)<0,\qquad -6<x<2 \text{ で } f'(x)>0,\qquad x>2 \text{ で } f'(x)<0 $$

となるので，$x=2$ で最大値をとる。

その値は

$$ f(2)=\frac{2+2}{2^2+2\cdot 2+16} =\frac{4}{24} =\frac{1}{6} $$

である。

解説

前半 2 問は，どちらも相加平均・相乗平均の関係をそのまま使う典型問題である。

特に 2 問目は，そのままでは 2 変数で扱いにくいが，展開すると $xy+\dfrac{4}{xy}+5$ となり，実質的に $xy$ だけの 1 変数問題になるのがポイントである。

3 問目は分母が常に正なので，微分して増減を調べる方針が自然である。極値候補を出したあと，実際に最大かどうかを増減表の考え方で確認することが重要である。

答え

$$ \boxed{\text{ク}=2,\ \text{ケ}=9,\ \text{コ}=\frac{1}{6}} $$