解説

方針・初手

$x>1$ より $x^2-1>0$ であるから，式を $x^2$ を用いて整理すると扱いやすい。

$$ 4x^2+\frac{1}{(x+1)(x-1)} =4x^2+\frac{1}{x^2-1} $$

ここで $t=x^2-1 , (>0)$ とおけば，基本不等式で最小値を求められる。

解法1

$t=x^2-1$ とおくと，$t>0$ であり，

$$ x^2=t+1 $$

であるから，与式は

$$ 4x^2+\frac{1}{x^2-1} =4(t+1)+\frac{1}{t} =4t+4+\frac{1}{t} $$

となる。

ここで $t>0$ なので，相加平均・相乗平均の関係より

$$ 4t+\frac{1}{t}\geqq 2\sqrt{4t\cdot \frac{1}{t}}=4 $$

したがって，

$$ 4t+4+\frac{1}{t}\geqq 8 $$

となる。よって最小値は $8$ である。

等号成立条件は

$$ 4t=\frac{1}{t} $$

すなわち

$$ 4t^2=1 $$

であり，$t>0$ より

$$ t=\frac{1}{2} $$

である。

$t=x^2-1$ だから，

$$ x^2-1=\frac{1}{2} $$

より

$$ x^2=\frac{3}{2} $$

したがって，$x>1$ を用いて

$$ x=\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2} $$

となる。

解説

分母に $(x+1)(x-1)$ があるので，まず $x^2-1$ にまとめるのが自然である。そのうえで $x^2-1$ を新しい文字 $t$ とおけば，$4t+\frac{1}{t}$ の形になり，相加平均・相乗平均の関係をそのまま使える。

最小値問題では，このように「正の文字 $t$ に置き換えて $at+\frac{b}{t}$ の形にする」ことが典型手法である。

答え

**(1)**

$8$

**(2)**

$6$

**(3)**

$2$

したがって，最小値は $8$，そのとき

$$ x=\frac{\sqrt{6}}{2} $$

である。