解説

方針・初手

左辺は逆数の和であり、右辺は $a+b+c$ の逆数に比例する形である。したがって、両辺を直接比較するよりも、

$$ (a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right) $$

の形にまとめて評価するのが自然である。

この形はコーシー・シュワルツの不等式、または相加平均と調和平均の関係で処理できる。

解法1

コーシー・シュワルツの不等式より、

$$ (a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right) \geqq (1+1+1)^2=9 $$

が成り立つ。

したがって、両辺を $a+b+c>0$ で割れば、

$$ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \geqq \frac{9}{a+b+c} $$

を得る。よって示すべき不等式は成り立つ。

次に等号成立条件を調べる。

コーシー・シュワルツの不等式で等号が成り立つのは、

$$ a : b : c = \frac{1}{a} : \frac{1}{b} : \frac{1}{c} $$

のとき、すなわち

$$ a^2=b^2=c^2 $$

のときである。$a,b,c$ は正の整数だから、

$$ a=b=c $$

である。

したがって、等号成立条件は $a=b=c$ である。

解法2

正の数 $\dfrac{1}{a},\dfrac{1}{b},\dfrac{1}{c}$ に対して、相加平均は調和平均以上であるから、

$$ \frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}{3} \geqq \frac{3}{a+b+c} $$

が成り立つ。

両辺に $3$ を掛けると、

$$ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \geqq \frac{9}{a+b+c} $$

となる。

また、相加平均と調和平均が等しいのは 3 つの数がすべて等しいときであるから、

$$ \frac{1}{a}=\frac{1}{b}=\frac{1}{c} $$

すなわち

$$ a=b=c $$

のときに限り等号が成り立つ。

解説

この問題の本質は、左辺と右辺をそのまま見比べるのではなく、

$$ (a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right) $$

という積の形に直すことである。この形になると、基本不等式で一気に評価できる。

特に

$$ (x+y+z)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\geqq 9 $$

はよく現れる標準形であり、等号条件が $x=y=z$ になることまで含めて覚えておくと有効である。

答え

$$ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geqq \frac{9}{a+b+c} $$

が成り立つ。

等号成立条件は

$$ a=b=c $$

である。